Subgroups — #37185

Order 256.

1463 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2849	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2714	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2711	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2676	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2673	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2613	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2561	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#539	—	2	8	no	—
21	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#121	—	2	8	no	—
31	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#392	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#381	C₂²	1	2	yes	—
70	#381	C₂²	1	2	yes	—
71	#380	C₂²	1	2	yes	—
72	#379	C₂²	1	2	yes	—
73	#379	C₂²	1	2	yes	—
74	#379	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#127	—	4	4	no	—
105	#126	—	2	8	no	—
106	#125	—	2	8	no	—
107	#124	—	4	4	no	—
108	#123	—	2	8	no	—
109	#123	—	2	8	no	—
110	#123	—	4	4	no	—
111	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
113	#121	—	2	4	no	—
114	#121	—	2	16	no	—
115	#121	—	2	16	no	—
116	#121	—	4	8	no	—
117	#120	—	4	4	no	—
118	#120	—	4	4	no	—
119	#120	—	4	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	2	yes	—
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	2	2	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	2	4	no	—
169	C₂⁴	—	2	4	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	—	4	2	no	—
173	C₂⁴	—	4	2	no	—
174	C₂⁴	—	4	2	no	—
175	C₂⁴	—	4	2	no	—
176	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	16	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	16	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	4	2	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	4	16	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	8	8	no	—
299	C₂³	—	8	8	no	—
300	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
302	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	D₄	—	4	16	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	4	16	no	—
309	D₄	—	4	8	no	—
310	D₄	—	8	2	no	—
311	D₄	—	8	8	no	—
312	D₄	—	8	8	no	—
313	D₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	16	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	4	16	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	8	8	no	—
368	C₂²	—	8	8	no	—
369	C₂²	#535	1	4	yes	—
370	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
372	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
373	C₂²	#585	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	4	no	—
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	4	4	no	—
386	C₂	—	8	2	no	—
387	C₂	—	8	2	no	—
388	C₂	—	8	2	no	—
389	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#3534	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#539	C₂	semidirect
2. C₂²×#121	C₂	semidirect
3. #2849	C₂	semidirect
4. #2714	C₂	semidirect
5. #2711	C₂	semidirect
6. #2676	C₂	semidirect
7. #2673	C₂	semidirect
8. #2613	C₂	semidirect
9. #2561	C₂	semidirect
10. #2539	C₂	semidirect
11. #2534	C₂	semidirect
12. #2435	C₂	semidirect
13. #2433	C₂	semidirect
14. #2408	C₂	semidirect
15. #2313	C₂	semidirect
21. C₂×#127	C₂²	semidirect
22. C₂×#126	C₂²	semidirect
23. C₂×#125	C₂²	semidirect
24. C₂×#124	C₂²	semidirect
27. C₂×#123	C₂²	semidirect
29. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
34. C₂×#121	C₂²	semidirect
42. #399	C₂²	semidirect
43. #397	C₂²	semidirect
44. #396	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
48. #394	C₂²	semidirect
49. #394	C₂²	semidirect
50. #393	C₂²	semidirect
51. #392	C₂²	semidirect
52. #392	C₂²	semidirect
53. #392	C₂²	semidirect
54. #392	C₂²	semidirect
55. #392	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #390	C₂²	semidirect
58. #390	C₂²	semidirect
59. #390	C₂²	semidirect
60. #388	C₂²	semidirect
61. #388	C₂²	semidirect
62. #387	C₂²	semidirect
63. #387	C₂²	semidirect
64. #386	C₂²	semidirect
65. #386	C₂²	semidirect
66. #386	C₂²	semidirect
67. #385	C₂²	semidirect
68. #385	C₂²	semidirect
121. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#539	2
C₂²×#121	2
#2849	2
#2714	2
#2711	2
#2676	2
#2673	2
#2613	2
#2561	2
#2539	2
#2534	2
#2435	2
#2433	2
#2408	2
#2313	2