Subgroups — #37249

Order 256.

1080 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2861	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2804	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2795	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2733	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2711	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2679	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2670	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2669	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2635	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2459	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2424	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2321	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#394	C₂²	1	2	yes	—
31	#394	C₂²	1	4	yes	—
32	#394	C₂²	1	4	yes	—
33	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#392	C₂²	1	2	yes	—
38	#392	C₂²	1	4	yes	—
39	#392	C₂²	1	4	yes	—
40	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#390	C₂²	1	4	yes	—
45	#390	C₂²	1	2	yes	—
46	#390	C₂²	1	2	yes	—
47	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#386	C₂²	1	2	yes	—
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	#127	—	2	4	no	—
81	#125	—	4	4	no	—
82	#124	—	4	4	no	—
83	#124	—	4	8	no	—
84	#121	—	4	4	no	—
85	#121	—	4	8	no	—
86	#120	—	2	8	no	—
87	#120	—	4	8	no	—
88	#120	—	4	8	no	—
89	C₄×D₄	—	4	8	no	—
90	C₄×D₄	—	4	2	no	—
91	C₄×D₄	—	4	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	#95	C₂³	1	4	yes	—
126	#95	C₂³	1	2	yes	—
127	#95	C₂³	1	2	yes	—
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	4	yes	—
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂⁴	—	2	4	no	—
134	C₂⁴	—	4	2	no	—
135	C₂⁴	—	4	2	no	—
136	C₂⁴	—	4	4	no	—
137	C₂⁴	—	4	4	no	—
138	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
139	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
141	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
143	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	4	1	no	—
150	C₂×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	1	no	—
152	C₂×D₄	—	4	1	no	—
153	C₂×D₄	—	4	1	no	—
154	C₂×D₄	—	4	4	no	—
155	C₂×D₄	—	4	4	no	—
156	C₂×D₄	—	4	4	no	—
157	C₂×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	2	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	—	4	4	no	—
164	C₂×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂×D₄	—	4	4	no	—
166	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₄²	—	2	2	no	—
210	C₄²	—	2	4	no	—
211	C₄²	—	2	2	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	4	1	no	—
214	C₄²	—	4	4	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	4	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	4	8	no	—
232	C₂³	—	8	8	no	—
233	C₂³	—	8	4	no	—
234	C₂³	—	8	4	no	—
235	C₂³	—	8	8	no	—
236	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
237	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
238	Q₈	—	8	4	no	—
239	D₄	—	4	4	no	—
240	D₄	—	4	16	no	—
241	D₄	—	4	4	no	—
242	D₄	—	8	4	no	—
243	D₄	—	8	8	no	—
244	D₄	—	8	4	no	—
245	D₄	—	8	8	no	—
246	D₄	—	8	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	8	4	no	—
270	C₂×C₄	—	8	4	no	—
271	C₂×C₄	—	8	4	no	—
272	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₂²	—	2	4	no	—
277	C₂²	—	2	8	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	4	4	no	—
283	C₂²	—	4	4	no	—
284	C₂²	—	4	4	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	4	no	—
293	C₂²	—	8	16	no	—
294	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	4	4	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	—	4	2	no	—
306	C₄	—	4	1	no	—
307	C₄	—	4	4	no	—
308	C₄	—	4	4	no	—
309	C₂	—	4	4	no	—
310	C₂	—	8	2	no	—
311	C₂	—	8	4	no	—
312	C₂	#3459	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3519	1	2	yes	—
314	C₂	#3543	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#3549	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#3558	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2861	C₂	semidirect
2. #2804	C₂	semidirect
3. #2795	C₂	semidirect
4. #2733	C₂	semidirect
5. #2711	C₂	semidirect
6. #2679	C₂	semidirect
7. #2670	C₂	semidirect
8. #2669	C₂	semidirect
9. #2635	C₂	semidirect
10. #2459	C₂	semidirect
11. #2424	C₂	semidirect
12. #2321	C₂	semidirect
13. C₄×#127	C₂	semidirect
15. C₂×#125	C₂²	semidirect
17. C₂×#124	C₂²	semidirect
22. C₂×#120	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
27. #400	C₂²	semidirect
28. #399	C₂²	semidirect
29. #396	C₂²	semidirect
33. #394	C₂²	semidirect
34. #394	C₂²	semidirect
35. #394	C₂²	semidirect
36. #393	C₂²	semidirect
40. #392	C₂²	semidirect
41. #391	C₂²	semidirect
42. #391	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #388	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #388	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #388	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
56. #387	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #385	C₂²	semidirect
61. #385	C₂²	semidirect
62. #384	C₂²	semidirect
63. #381	C₂²	semidirect
64. #379	C₂²	semidirect
65. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
66. C₄³	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2861	2
#2804	2
#2795	2
#2733	2
#2711	2
#2679	2
#2670	2
#2669	2
#2635	2
#2459	2
#2424	2
#2321	2
C₄×#127	2