Subgroups — #37270

Order 256.

1373 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2703	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2696	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2673	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2669	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2615	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2562	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2537	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#540	—	2	8	no	—
17	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#525	—	2	8	no	—
21	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	4	yes	—
41	#394	C₂²	1	4	yes	—
42	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#392	C₂²	1	4	yes	—
45	#392	C₂²	1	4	yes	—
46	#392	C₂²	1	4	yes	—
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	4	yes	—
52	#388	C₂²	1	4	yes	—
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#386	C₂²	1	4	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#380	C₂²	1	2	yes	—
63	#380	C₂²	1	2	yes	—
64	#380	C₂²	1	2	yes	—
65	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	4	2	no	—
72	C₂×#41	—	4	2	no	—
73	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#127	—	2	4	no	—
95	#127	—	4	8	no	—
96	#125	—	2	4	no	—
97	#123	—	2	16	no	—
98	#123	—	2	8	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
100	#121	—	2	8	no	—
101	#121	—	2	8	no	—
102	#121	—	2	16	no	—
103	#121	—	4	8	no	—
104	#121	—	4	4	no	—
105	#121	—	4	4	no	—
106	#121	—	4	4	no	—
107	#121	—	4	4	no	—
108	#120	—	2	8	no	—
109	#120	—	4	8	no	—
110	C₄×D₄	—	2	8	no	—
111	C₄×D₄	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	#117	D₄	1	8	yes	complemented
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	4	yes	—
146	#95	C₂³	1	4	yes	—
147	#95	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂⁴	—	2	2	no	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	4	1	no	—
151	C₂⁴	—	4	1	no	—
152	C₂⁴	—	4	2	no	—
153	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
157	#41	—	4	16	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
161	C₂×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×D₄	—	2	8	no	—
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	2	no	—
171	C₂×D₄	—	2	8	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	1	no	—
177	C₂×D₄	—	4	1	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
246	C₄²	—	4	4	no	—
247	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	2	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	8	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	8	no	—
286	D₄	—	4	8	no	—
287	D₄	—	8	8	no	—
288	D₄	—	8	8	no	—
289	D₄	—	8	8	no	—
290	D₄	—	8	8	no	—
291	D₄	—	8	8	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	4	16	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
357	C₂²	#585	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	#535	1	4	yes	—
367	C₂	—	4	2	no	—
368	C₂	—	4	4	no	—
369	C₂	—	8	2	no	—
370	C₂	—	8	4	no	—
371	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#3488	1	2	yes	—
373	C₂	#3537	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#3539	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3542	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#540	C₂	semidirect
2. C₂×#525	C₂	semidirect
3. #2847	C₂	semidirect
4. #2703	C₂	semidirect
5. #2696	C₂	semidirect
6. #2673	C₂	semidirect
7. #2669	C₂	semidirect
8. #2615	C₂	semidirect
9. #2562	C₂	semidirect
10. #2541	C₂	semidirect
11. #2537	C₂	semidirect
12. #2535	C₂	semidirect
13. #2314	C₂	semidirect
18. C₂×#127	C₂²	semidirect
19. C₂×#125	C₂²	semidirect
22. C₂×#123	C₂²	semidirect
30. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×#121	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
38. #400	C₂²	semidirect
39. #397	C₂²	semidirect
42. #394	C₂²	semidirect
43. #393	C₂²	semidirect
48. #392	C₂²	semidirect
49. #392	C₂²	semidirect
50. #390	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #387	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #384	C₂²	semidirect
61. #382	C₂²	semidirect
65. #380	C₂²	semidirect
66. #380	C₂²	semidirect
67. #380	C₂²	semidirect
68. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
113. #117	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
C₂×#525	2
#2847	2
#2703	2
#2696	2
#2673	2
#2669	2
#2615	2
#2562	2
#2541	2
#2537	2
#2535	2
#2314	2