Subgroups — #37302

Order 256.

1487 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 291 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2673	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2669	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2641	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2433	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2298	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#540	—	2	8	no	—
17	#535	—	2	8	no	—
18	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂×#127	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#392	C₂²	1	8	yes	—
41	#392	C₂²	1	8	yes	—
42	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#390	C₂²	1	2	yes	—
46	#390	C₂²	1	2	yes	—
47	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#388	C₂²	1	4	yes	—
49	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
53	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
54	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
55	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
56	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#41	—	2	4	no	—
59	C₂×#41	—	4	4	no	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	#127	—	2	4	no	—
80	#127	—	2	4	no	—
81	#127	—	2	4	no	—
82	#127	—	4	4	no	—
83	#127	—	4	4	no	—
84	#127	—	4	4	no	—
85	#127	—	4	16	no	—
86	#125	—	2	4	no	—
87	#124	—	2	4	no	—
88	#124	—	2	4	no	—
89	#124	—	4	4	no	—
90	#123	—	2	16	no	—
91	#121	—	2	8	no	—
92	#121	—	2	16	no	—
93	#121	—	2	16	no	—
94	#121	—	4	16	no	—
95	#120	—	2	16	no	—
96	#120	—	4	16	no	—
97	C₄×D₄	—	2	8	no	—
98	#117	D₄	1	8	yes	complemented
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	#95	C₂³	1	4	yes	—
119	#95	C₂³	1	4	yes	—
120	#95	C₂³	1	4	yes	—
121	#95	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂⁴	—	2	4	no	—
123	C₂⁴	—	4	4	no	—
124	C₂⁴	—	4	8	no	—
125	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
127	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	#41	—	4	16	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	4	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	16	no	—
149	C₂×D₄	—	2	16	no	—
150	C₂×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	16	no	—
153	C₂×D₄	—	4	8	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×D₄	—	4	8	no	—
157	C₂×D₄	—	4	8	no	—
158	C₂×D₄	—	4	8	no	—
159	C₂×D₄	—	4	8	no	—
160	C₂×D₄	—	4	8	no	—
161	C₂×D₄	—	4	8	no	—
162	C₂×D₄	—	4	8	no	—
163	C₂×D₄	—	4	8	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
192	C₄²	—	2	4	no	—
193	C₄²	—	2	8	no	—
194	C₄²	—	2	4	no	—
195	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂³	—	2	4	no	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	8	no	—
204	C₂³	—	2	4	no	—
205	C₂³	—	2	8	no	—
206	C₂³	—	2	8	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	8	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	4	8	no	—
214	C₂³	—	8	8	no	—
215	C₂³	—	8	16	no	—
216	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	Q₈	—	4	4	no	—
219	D₄	—	4	8	no	—
220	D₄	—	4	8	no	—
221	D₄	—	4	8	no	—
222	D₄	—	4	4	no	—
223	D₄	—	4	4	no	—
224	D₄	—	4	4	no	—
225	D₄	—	8	8	no	—
226	D₄	—	8	8	no	—
227	D₄	—	8	8	no	—
228	D₄	—	8	16	no	—
229	D₄	—	8	16	no	—
230	D₄	—	8	8	no	—
231	D₄	—	8	16	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂×C₄	—	8	8	no	—
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
252	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
253	C₂²	—	2	2	no	—
254	C₂²	—	2	4	no	—
255	C₂²	—	4	4	no	—
256	C₂²	—	4	2	no	—
257	C₂²	—	4	2	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	4	no	—
260	C₂²	—	4	4	no	—
261	C₂²	—	4	4	no	—
262	C₂²	—	4	4	no	—
263	C₂²	—	4	4	no	—
264	C₂²	—	4	4	no	—
265	C₂²	—	4	8	no	—
266	C₂²	—	4	8	no	—
267	C₂²	—	4	8	no	—
268	C₂²	—	4	8	no	—
269	C₂²	—	4	8	no	—
270	C₂²	—	8	16	no	—
271	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
273	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	2	4	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	2	8	no	—
278	C₄	—	4	2	no	—
279	C₄	—	4	4	no	—
280	C₄	—	4	4	no	—
281	C₄	#535	1	4	yes	—
282	C₂	—	4	2	no	—
283	C₂	—	8	2	no	—
284	C₂	—	8	4	no	—
285	C₂	—	8	2	no	—
286	C₂	—	8	2	no	—
287	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#3498	1	2	yes	—
289	C₂	#3543	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#540	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. #2867	C₂	semidirect
4. #2861	C₂	semidirect
5. #2673	C₂	semidirect
6. #2669	C₂	semidirect
7. #2657	C₂	semidirect
8. #2641	C₂	semidirect
9. #2544	C₂	semidirect
10. #2541	C₂	semidirect
11. #2433	C₂	semidirect
12. #2431	C₂	semidirect
13. #2298	C₂	semidirect
22. C₂×#127	C₂²	semidirect
23. C₂×#127	C₂²	semidirect
24. C₂×#127	C₂²	semidirect
25. C₂×#125	C₂²	semidirect
28. C₂×#124	C₂²	semidirect
29. C₂×#123	C₂²	semidirect
33. C₂×#121	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
38. #394	C₂²	semidirect
39. #394	C₂²	semidirect
42. #392	C₂²	semidirect
43. #392	C₂²	semidirect
44. #391	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
49. #388	C₂²	semidirect
50. #387	C₂²	semidirect
51. #386	C₂²	semidirect
52. #386	C₂²	semidirect
53. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
55. #376	C₂²	semidirect
56. C₄³	C₂²	semidirect
98. #117	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
C₂×#535	2
#2867	2
#2861	2
#2673	2
#2669	2
#2657	2
#2641	2
#2544	2
#2541	2
#2433	2
#2431	2
#2298	2