Subgroups — #37303

Order 256.

1039 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#544	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2721	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2680	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2677	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2674	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2640	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2566	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2565	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2502	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
17	#2500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	#2499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
19	#2298	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
20	#544	—	2	8	no	—
21	#542	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#399	C₂²	1	4	yes	—
47	#399	C₂²	1	4	yes	—
48	#398	C₂²	1	4	yes	—
49	#398	C₂²	1	4	yes	—
50	#398	C₂²	1	4	yes	—
51	#397	C₂²	1	4	yes	—
52	#397	C₂²	1	4	yes	—
53	#396	C₂²	1	4	yes	—
54	#395	C₂²	1	4	yes	—
55	#395	C₂²	1	4	yes	—
56	#394	C₂²	1	4	yes	—
57	#393	C₂²	1	4	yes	—
58	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#389	C₂²	1	4	yes	—
67	#388	C₂²	1	4	yes	—
68	#388	C₂²	1	4	yes	—
69	#388	C₂²	1	2	yes	—
70	#388	C₂²	1	4	yes	—
71	#388	C₂²	1	2	yes	—
72	#387	C₂²	1	4	yes	—
73	#387	C₂²	1	2	yes	—
74	#387	C₂²	1	4	yes	—
75	#387	C₂²	1	2	yes	—
76	#385	C₂²	1	4	yes	—
77	#385	C₂²	1	4	yes	—
78	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#384	C₂²	1	4	yes	—
83	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
86	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
88	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
91	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
92	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
107	#126	—	2	8	no	—
108	#125	—	2	8	no	—
109	#125	—	2	4	no	—
110	#125	—	2	4	no	—
111	#124	—	2	8	no	—
112	#124	—	2	4	no	—
113	#123	—	2	8	no	—
114	#123	—	4	8	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
120	#121	—	2	4	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	#117	—	2	4	no	—
124	#117	D₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	#95	C₂³	1	2	yes	—
177	#95	C₂³	1	2	yes	—
178	#95	C₂³	1	2	yes	—
179	#95	C₂³	1	2	yes	—
180	#95	C₂³	1	2	yes	—
181	#95	C₂³	1	2	yes	—
182	#95	C₂³	1	4	yes	—
183	#95	C₂³	1	4	yes	—
184	#95	C₂³	1	4	yes	—
185	#95	C₂³	1	4	yes	—
186	#95	C₂³	1	4	yes	—
187	#95	C₂³	1	4	yes	—
188	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
267	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
277	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	4	4	no	—
290	Q₈	—	8	4	no	—
291	Q₈	—	8	4	no	—
292	Q₈	—	8	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
354	C₄	—	2	2	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	#536	1	4	yes	—
371	C₂	—	4	2	no	—
372	C₂	—	8	2	no	—
373	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3544	1	2	yes	—
377	C₂	#3552	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#544	C₂	semidirect
3. #2868	C₂	semidirect
4. #2861	C₂	semidirect
5. #2721	C₂	semidirect
6. #2680	C₂	semidirect
7. #2677	C₂	semidirect
8. #2674	C₂	semidirect
9. #2660	C₂	semidirect
10. #2640	C₂	semidirect
11. #2567	C₂	semidirect
12. #2566	C₂	semidirect
13. #2565	C₂	semidirect
14. #2542	C₂	semidirect
15. #2502	C₂	semidirect
18. #2499	C₂	semidirect
19. #2298	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#544	2
C₂×#542	2
#2868	2
#2861	2
#2721	2
#2680	2
#2677	2
#2674	2
#2660	2
#2640	2
#2567	2
#2566	2
#2565	2
#2542	2
#2502	2
#2501	2
#2500	2
#2499	2
#2298	2