Subgroups — #373756

Order 512.

1204 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 450 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2923	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1827	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11281	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10883	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10747	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2923	—	2	4	no	—
16	#2923	—	2	4	no	—
17	C₂×#433	—	2	2	no	—
18	C₂×#432	—	2	2	no	—
19	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1868	—	2	4	no	—
30	#1858	—	2	4	no	—
31	#1827	C₄	1	8	yes	complemented
32	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
33	#1742	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
35	#1735	C₂²	1	2	yes	—
36	#1733	—	2	2	no	—
37	#1733	C₂²	1	2	yes	—
38	#1733	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	—	2	2	no	—
40	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
43	#1729	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#568	—	2	4	no	—
46	#568	—	2	2	no	—
47	#568	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	4	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#520	—	2	4	no	—
57	#519	—	2	1	no	—
58	#518	—	2	2	no	—
59	#518	—	2	1	no	—
60	C₄×#41	—	2	2	no	—
61	C₄×#41	—	2	2	no	—
62	C₄×#41	—	4	2	no	—
63	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
68	C₂×#117	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#433	—	2	16	no	—
76	#432	—	2	16	no	—
77	#430	—	2	4	no	—
78	#430	—	2	4	no	—
79	C₂×#108	—	4	2	no	—
80	#424	—	2	2	no	—
81	#424	—	2	2	no	—
82	#424	—	2	2	no	—
83	#424	—	2	2	no	—
84	#424	—	2	4	no	—
85	#424	—	2	4	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
89	#413	—	2	2	no	—
90	#413	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×#101	—	2	1	no	—
92	C₂×#100	—	2	1	no	—
93	#410	—	2	2	no	—
94	#410	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₂×#99	—	2	2	no	—
96	#408	—	2	2	no	—
97	#408	—	2	2	no	—
98	#408	D₄	1	4	yes	—
99	#408	D₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×#97	—	2	2	no	—
105	C₂×#97	—	2	2	no	—
106	C₂×#97	—	2	1	no	—
107	C₂×#97	—	2	1	no	—
108	C₂×#97	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	#344	—	2	4	no	—
111	#343	—	2	4	no	—
112	#341	—	2	4	no	—
113	#340	—	2	4	no	—
114	#339	—	2	2	no	—
115	#339	—	2	4	no	—
116	#339	—	2	2	no	—
117	#339	—	4	2	no	—
118	#339	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
119	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
120	#336	—	4	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#131	—	4	8	no	—
137	#131	—	4	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
157	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
161	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	8	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	2	8	no	—
183	C₄×D₄	—	4	4	no	—
184	C₄×D₄	—	4	8	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	1	no	—
187	#117	—	2	1	no	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	—	2	4	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	—	2	2	no	—
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	4	2	no	—
197	#117	—	4	2	no	—
198	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
199	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
200	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
220	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
226	#108	—	4	8	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
230	#101	—	2	4	no	—
231	#100	—	2	4	no	—
232	#99	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
235	#97	—	2	4	no	—
236	#97	—	2	4	no	—
237	#97	—	2	4	no	—
238	C₄×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂⁴	#123	1	2	yes	—
240	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	2	4	no	—
242	#41	—	2	4	no	—
243	#41	—	2	4	no	—
244	#41	—	2	4	no	—
245	#41	—	2	4	no	—
246	#41	—	2	4	no	—
247	#41	—	2	4	no	—
248	#41	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
259	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
277	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
289	M₁₆	—	2	4	no	—
290	M₁₆	—	2	4	no	—
291	M₁₆	—	2	4	no	—
292	M₁₆	—	2	4	no	—
293	M₁₆	—	2	4	no	—
294	M₁₆	—	2	4	no	—
295	M₁₆	—	4	8	no	—
296	M₁₆	—	4	2	no	—
297	M₁₆	—	4	2	no	—
298	M₁₆	—	4	2	no	—
299	M₁₆	—	4	2	no	—
300	M₁₆	—	4	2	no	—
301	M₁₆	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	4	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	4	8	no	—
311	C₂×C₈	—	4	1	no	—
312	C₂×C₈	—	4	1	no	—
313	C₂×C₈	—	4	1	no	—
314	C₂×C₈	—	4	1	no	—
315	C₂×C₈	—	4	1	no	—
316	C₂×C₈	—	4	2	no	—
317	C₂×C₈	—	4	1	no	—
318	C₂×C₈	—	4	1	no	—
319	C₂×C₈	—	4	1	no	—
320	C₂×C₈	—	4	2	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	—	4	2	no	—
323	C₂×C₈	—	4	2	no	—
324	C₂×C₈	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
341	C₄²	—	2	2	no	—
342	C₄²	—	2	1	no	—
343	C₄²	—	2	1	no	—
344	C₄²	—	2	2	no	—
345	C₄²	—	2	2	no	—
346	C₄²	—	2	8	no	—
347	C₄²	—	2	4	no	—
348	C₄²	—	4	4	no	—
349	C₄²	—	4	2	no	—
350	C₄²	—	4	2	no	—
351	C₄²	—	4	2	no	—
352	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
353	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
354	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
355	C₂³	—	2	2	no	—
356	C₂³	—	2	2	no	—
357	C₂³	—	4	2	no	—
358	C₂³	—	4	4	no	—
359	C₂³	#385	1	4	yes	—
360	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	#551	1	2	yes	—
364	C₂³	#552	1	2	yes	—
365	Q₈	—	2	4	no	—
366	Q₈	—	2	4	no	—
367	D₄	—	2	8	no	—
368	D₄	—	2	8	no	—
369	D₄	—	2	4	no	—
370	D₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	2	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	4	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	8	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	8	no	—
388	C₂×C₄	—	8	4	no	—
389	C₂×C₄	—	8	4	no	—
390	C₂×C₄	—	16	4	no	—
391	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
406	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
410	C₈	—	4	4	no	—
411	C₈	—	4	2	no	—
412	C₈	—	4	4	no	—
413	C₈	—	4	2	no	—
414	C₈	—	4	2	no	—
415	C₈	—	4	2	no	—
416	C₂²	—	2	2	no	—
417	C₂²	—	2	4	no	—
418	C₂²	—	2	4	no	—
419	C₂²	—	4	1	no	—
420	C₂²	—	4	1	no	—
421	C₂²	—	4	2	no	—
422	C₂²	—	4	4	no	—
423	C₂²	—	4	4	no	—
424	C₂²	—	8	2	no	—
425	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
426	C₂²	#2359	1	2	yes	—
427	C₂²	#2438	1	2	yes	—
428	C₂²	#2482	1	1	yes	characteristic
429	C₂²	#2484	1	1	yes	characteristic
430	C₄	—	2	4	no	—
431	C₄	—	4	2	no	—
432	C₄	—	4	4	no	—
433	C₄	—	4	2	no	—
434	C₄	—	8	4	no	—
435	C₄	—	8	4	no	—
436	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
438	C₄	#2359	1	2	yes	—
439	C₄	#2404	1	1	yes	characteristic
440	C₄	#2406	1	1	yes	characteristic
441	C₄	#2438	1	2	yes	—
442	C₂	—	2	1	no	—
443	C₂	—	2	2	no	—
444	C₂	—	2	1	no	—
445	C₂	—	2	2	no	—
446	C₂	—	4	4	no	—
447	C₂	#14128	1	1	yes	characteristic
448	C₂	#27599	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2482
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11336	C₂	semidirect
7. #11281	C₂	semidirect
8. #10897	C₂	semidirect
9. #10883	C₂	semidirect
31. #1827	C₄	semidirect
118. #339	C₂×C₄	semidirect
119. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2923	2
C₂×#1868	2
C₂×#1858	2
C₂×#1827	2
#20343	2
#11336	2
#11281	2
#10897	2
#10883	2
#10752	2
#10747	2