Subgroups — #373799

Order 512.

1140 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21143	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20632	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11088	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10920	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10855	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2925	—	2	8	no	—
10	#2921	—	2	2	no	—
11	#2920	—	2	2	no	—
12	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
15	#2879	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
17	#2873	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2285	C₂²	1	2	yes	—
21	#1939	—	2	8	no	—
22	#1799	C₄	1	8	yes	—
23	#1750	—	2	2	no	—
24	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
27	#1740	C₂²	1	2	yes	—
28	#1729	C₂²	1	4	yes	—
29	#1729	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₄×#41	—	2	4	no	—
35	C₄×#41	—	2	2	no	—
36	C₄×#41	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
40	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#433	—	2	16	no	—
46	#432	—	2	8	no	—
47	#431	—	2	8	no	—
48	#424	—	2	8	no	—
49	#424	—	4	4	no	—
50	#423	—	2	2	no	—
51	#423	—	2	2	no	—
52	#423	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
55	#410	—	4	4	no	—
56	C₂×#99	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	#408	—	2	4	no	—
58	#408	—	2	8	no	—
59	#408	—	2	4	no	—
60	#407	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	#405	—	2	8	no	—
63	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
64	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
65	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂×#97	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
71	#384	—	2	2	no	—
72	#382	—	2	2	no	—
73	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	#344	—	2	8	no	—
76	#344	—	4	4	no	—
77	#342	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	#336	—	2	8	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	—	2	2	no	—
81	C₂×#41	—	2	2	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	—	2	2	no	—
84	C₂×#41	—	2	2	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
113	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
114	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	8	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₄×D₄	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	2	4	no	—
120	#117	—	2	2	no	—
121	#117	—	2	2	no	—
122	#117	—	2	4	no	—
123	#117	—	2	4	no	—
124	#117	—	2	4	no	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
147	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
148	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
149	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
150	#99	—	4	8	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
153	#97	—	2	8	no	—
154	#97	—	4	2	no	—
155	C₄×C₈	—	2	8	no	—
156	C₄×C₈	—	4	2	no	—
157	C₄×C₈	—	4	2	no	—
158	C₄×C₈	—	4	1	no	—
159	C₄×C₈	—	4	1	no	—
160	#95	—	2	8	no	—
161	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
163	#41	—	4	2	no	—
164	#41	—	4	2	no	—
165	#41	—	4	2	no	—
166	#41	—	4	2	no	—
167	#41	—	4	2	no	—
168	#41	—	4	2	no	—
169	#41	—	4	2	no	—
170	#41	—	4	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	—	2	2	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	1	no	—
181	C₂×D₄	—	2	1	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
206	M₁₆	—	2	4	no	—
207	M₁₆	—	2	4	no	—
208	M₁₆	—	4	4	no	—
209	M₁₆	—	4	4	no	—
210	M₁₆	—	4	4	no	—
211	M₁₆	—	4	4	no	—
212	M₁₆	—	4	2	no	—
213	M₁₆	—	4	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	4	4	no	—
241	C₄²	—	4	4	no	—
242	C₄²	#120	1	2	yes	—
243	C₄²	#120	1	2	yes	—
244	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
245	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
246	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
247	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	#123	1	2	yes	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
257	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	#519	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	4	2	no	—
260	Q₈	—	4	2	no	—
261	D₄	—	4	4	no	—
262	D₄	—	4	4	no	—
263	D₄	—	4	2	no	—
264	D₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	16	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	8	4	no	—
280	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
299	C₈	—	4	4	no	—
300	C₈	—	4	8	no	—
301	C₈	—	4	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	1	no	—
306	C₂²	—	4	1	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	4	2	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	8	2	no	—
311	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#2296	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#2316	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#2362	1	2	yes	—
315	C₂²	#2363	1	2	yes	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	—	4	4	no	—
320	C₄	—	8	8	no	—
321	C₄	#1868	1	4	yes	—
322	C₄	#2407	1	2	yes	—
323	C₄	#2439	1	2	yes	—
324	C₄	#2441	1	2	yes	—
325	C₄	#2485	1	2	yes	—
326	C₂	—	2	2	no	—
327	C₂	—	2	1	no	—
328	C₂	—	2	1	no	—
329	C₂	—	2	2	no	—
330	C₂	—	8	2	no	—
331	C₂	#14129	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×#1868	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21143	C₂	semidirect
6. #10920	C₂	semidirect
7. #10855	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60125	2
#21143	2
#20632	2
C₄×#408	2
#11088	2
#10920	2
#10855	2