Subgroups — #373823

Order 512.

1268 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1858	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20375	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11343	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10845	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10753	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
13	#2906	—	2	8	no	—
14	#2905	—	2	2	no	—
15	#2905	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	—	2	2	no	—
17	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1950	—	2	8	no	—
25	#1858	—	2	8	no	—
26	#1801	C₄	1	4	yes	—
27	#1800	C₄	1	4	yes	—
28	#1750	—	2	2	no	—
29	#1749	—	2	2	no	—
30	#1742	C₂²	1	2	yes	—
31	#1738	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
34	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#568	—	2	4	no	—
38	#568	—	2	4	no	—
39	#568	—	4	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	8	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄×#41	—	2	4	no	—
49	C₄×#41	—	2	2	no	—
50	C₄×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
54	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#430	—	2	8	no	—
59	#430	—	4	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	8	no	—
61	#424	—	2	16	no	—
62	#424	—	2	8	no	—
63	#423	—	2	8	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#423	—	2	2	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	#423	D₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
74	#413	—	2	4	no	—
75	#413	—	2	4	no	—
76	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	#408	—	2	2	no	—
79	#408	—	2	2	no	—
80	#408	D₄	1	4	yes	—
81	#408	Q₈	1	4	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
85	C₂×#97	—	2	1	no	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×#97	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	#343	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	#341	—	2	8	no	—
93	#341	—	2	8	no	—
94	#341	—	4	4	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
104	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	#131	—	4	16	no	—
113	#131	—	4	16	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	8	no	—
155	C₄×D₄	—	2	8	no	—
156	C₄×D₄	—	2	4	no	—
157	C₄×D₄	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
177	#108	—	4	16	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
183	#101	—	2	8	no	—
184	#100	—	2	8	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
187	#97	—	4	2	no	—
188	#97	—	4	1	no	—
189	#97	—	4	1	no	—
190	#97	—	4	2	no	—
191	C₄×C₈	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	4	no	—
196	#41	—	2	4	no	—
197	#41	—	2	4	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
212	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
213	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
240	M₁₆	—	2	8	no	—
241	M₁₆	—	2	8	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	2	8	no	—
244	M₁₆	—	2	8	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	4	16	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	16	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	—	4	1	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
285	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
286	C₄²	#120	1	2	yes	—
287	C₄²	#120	1	2	yes	—
288	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	#123	1	2	yes	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	#389	1	4	yes	—
296	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	#544	1	2	yes	—
301	Q₈	—	2	4	no	—
302	Q₈	—	2	4	no	—
303	D₄	—	2	8	no	—
304	D₄	—	2	8	no	—
305	D₄	—	2	4	no	—
306	D₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
343	C₈	—	4	8	no	—
344	C₈	—	4	8	no	—
345	C₈	—	4	2	no	—
346	C₈	—	4	2	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	4	1	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	8	2	no	—
358	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2440	1	2	yes	—
362	C₂²	#2442	1	2	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	#2360	1	2	yes	—
369	C₄	#2361	1	2	yes	—
370	C₄	#2408	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2486	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2487	1	1	yes	characteristic
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	#14130	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20860	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21177	C₂	semidirect
6. #11343	C₂	semidirect
7. #11297	C₂	semidirect
8. #10845	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60099	2
#21177	2
C₂×#1858	2
#20637	2
#20375	2
#11343	2
#11297	2
#10845	2
#10753	2