Subgroups — #373869

Order 512.

1268 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21181	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20855	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11337	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11294	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10860	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10747	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3428	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
13	#2913	—	2	4	no	—
14	#2912	—	2	4	no	—
15	#2911	—	2	2	no	—
16	#2911	C₂²	1	2	yes	—
17	#2911	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#427	—	2	2	no	—
19	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1952	—	2	4	no	—
26	#1951	—	2	4	no	—
27	#1857	—	2	4	no	—
28	#1856	—	2	4	no	—
29	#1813	C₄	1	8	yes	complemented
30	#1753	—	2	2	no	—
31	#1752	—	2	2	no	—
32	#1742	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
35	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1729	C₂²	1	4	yes	—
37	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#131	—	2	2	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#520	—	2	8	no	—
52	#519	—	2	2	no	—
53	#518	—	2	4	no	—
54	#518	—	2	2	no	—
55	C₄×#41	—	4	4	no	—
56	C₂×#117	—	2	4	no	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#108	—	2	2	no	—
61	C₂×#108	—	2	2	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	#428	—	2	16	no	—
65	#428	—	2	8	no	—
66	#428	—	2	8	no	—
67	#428	—	2	8	no	—
68	#427	—	2	4	no	—
69	#427	—	2	4	no	—
70	#427	—	2	2	no	—
71	#427	—	2	4	no	—
72	#427	—	2	2	no	—
73	#427	—	2	2	no	—
74	#427	—	2	2	no	—
75	#427	—	4	4	no	—
76	C₂×#107	—	2	4	no	—
77	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
78	C₂×#106	—	2	4	no	—
79	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
80	#413	—	2	4	no	—
81	#413	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂×#101	—	2	2	no	—
83	C₂×#100	—	2	2	no	—
84	#408	—	2	2	no	—
85	#408	Q₈	1	4	yes	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	#405	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	—	2	1	no	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×#97	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	#391	D₄	1	2	yes	—
95	#390	D₄	1	2	yes	—
96	#386	—	2	2	no	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	#343	—	2	8	no	—
99	#339	—	2	8	no	—
100	#338	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	4	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	#131	—	2	8	no	—
119	#131	—	2	8	no	—
120	#131	—	2	8	no	—
121	#131	—	2	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
158	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
159	C₄×D₄	—	4	8	no	—
160	C₄×D₄	—	4	16	no	—
161	#117	—	2	8	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	—	2	4	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	#117	—	4	4	no	—
169	#117	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	#108	—	2	8	no	—
185	#108	—	2	8	no	—
186	#107	—	2	8	no	—
187	#107	—	2	4	no	—
188	#107	—	2	4	no	—
189	#107	—	4	8	no	—
190	#106	—	2	8	no	—
191	#106	—	2	4	no	—
192	#106	—	2	4	no	—
193	#106	—	4	8	no	—
194	#101	—	2	8	no	—
195	#100	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
197	#97	—	4	1	no	—
198	#97	—	4	1	no	—
199	#97	—	4	2	no	—
200	#97	—	4	2	no	—
201	C₄×C₈	—	4	2	no	—
202	#95	—	2	4	no	—
203	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
204	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	2	4	no	—
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	2	4	no	—
212	#41	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
223	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
224	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	16	no	—
251	M₁₆	—	2	8	no	—
252	M₁₆	—	2	8	no	—
253	M₁₆	—	2	4	no	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	—	4	4	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₂×C₈	—	2	8	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	4	8	no	—
295	C₄²	—	4	1	no	—
296	C₄²	—	4	1	no	—
297	C₄²	—	4	4	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₄²	—	4	1	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	#389	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	#546	1	2	yes	—
310	C₂³	#552	1	2	yes	—
311	Q₈	—	2	4	no	—
312	Q₈	—	2	4	no	—
313	D₄	—	2	8	no	—
314	D₄	—	2	8	no	—
315	D₄	—	2	4	no	—
316	D₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	—	16	8	no	—
332	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
351	C₈	—	2	4	no	—
352	C₈	—	4	8	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	#385	1	2	yes	—
356	C₈	#385	1	2	yes	—
357	C₈	#385	1	4	yes	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	1	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2360	1	2	yes	—
369	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2442	1	2	yes	—
371	C₂²	#2486	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	8	2	no	—
374	C₄	—	8	2	no	—
375	C₄	—	8	8	no	—
376	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2361	1	2	yes	—
379	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2440	1	2	yes	—
381	C₄	#2487	1	1	yes	characteristic
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	2	1	no	—
384	C₂	—	2	2	no	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	4	4	no	—
387	C₂	#14130	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#24288	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2408
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21181	C₂	semidirect
6. #11337	C₂	semidirect
7. #11294	C₂	semidirect
8. #10860	C₂	semidirect
29. #1813	C₄	semidirect
63. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
100. #338	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60108	2
#21181	2
#20855	2
C₂×#1813	2
#20384	2
#11337	2
#11294	2
#10860	2
#10747	2