Subgroups — #373993

Order 512.

764 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21181	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21042	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20460	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11304	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11297	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10900	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10865	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10860	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#10707	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2911	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2905	C₂²	1	2	yes	—
18	#2873	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1952	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1951	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1946	—	2	2	no	—
25	#1945	—	2	2	no	—
26	#1922	—	2	8	no	—
27	#1778	—	2	2	no	—
28	C₄×#108	—	2	2	no	—
29	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
30	#1742	C₂²	1	2	yes	—
31	#1738	C₂²	1	2	yes	—
32	#1738	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
35	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1733	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1729	C₂²	1	2	yes	—
41	#1728	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#108	—	2	1	no	—
54	C₂×#108	—	2	1	no	—
55	C₂×#108	—	2	2	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	C₂×#108	—	2	2	no	—
58	C₂×#108	—	2	2	no	—
59	C₂×#108	—	2	2	no	—
60	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×#108	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	—
65	#428	—	2	4	no	—
66	#428	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#427	—	2	1	no	—
68	#427	—	2	1	no	—
69	#427	—	2	1	no	—
70	#427	—	2	1	no	—
71	#427	—	2	4	no	—
72	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#424	—	2	4	no	—
75	#424	—	2	4	no	—
76	#423	—	4	2	no	—
77	#405	—	2	1	no	—
78	#405	—	2	1	no	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	#405	—	4	2	no	—
83	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#405	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×#97	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	—	2	2	no	—
90	C₂×#97	—	2	1	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	#344	—	2	4	no	—
95	#343	C₂×C₄	1	8	yes	—
96	#341	—	2	4	no	—
97	#341	—	2	4	no	—
98	#341	—	2	2	no	—
99	#341	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	#339	—	2	2	no	—
103	#339	—	2	4	no	—
104	#339	D₄	1	4	yes	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	#336	—	4	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
150	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
161	#117	—	2	1	no	—
162	#117	—	2	1	no	—
163	#117	—	2	1	no	—
164	#117	—	2	1	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	1	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	#117	#41	1	2	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	#108	—	2	4	no	—
189	#108	—	2	4	no	—
190	#108	—	2	4	no	—
191	#108	—	2	4	no	—
192	#108	—	2	4	no	—
193	#108	—	2	4	no	—
194	#107	—	2	2	no	—
195	#107	—	2	2	no	—
196	#107	—	2	8	no	—
197	#106	—	2	2	no	—
198	#106	—	2	2	no	—
199	#106	—	2	8	no	—
200	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	—	4	4	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	#97	—	4	2	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	4	4	no	—
210	C₄×C₈	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
233	M₁₆	—	2	4	no	—
234	M₁₆	—	2	2	no	—
235	M₁₆	—	2	4	no	—
236	M₁₆	—	2	2	no	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	2	4	no	—
239	M₁₆	—	2	2	no	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	2	2	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	2	no	—
246	M₁₆	—	4	2	no	—
247	M₁₆	—	4	1	no	—
248	M₁₆	—	4	2	no	—
249	M₁₆	—	4	1	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	M₁₆	—	4	1	no	—
252	M₁₆	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	1	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#125	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	#126	1	2	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
296	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	4	1	no	—
309	C₄²	—	4	1	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#541	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#541	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#548	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#552	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	#557	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#542	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#542	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#552	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	#553	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
359	C₈	—	4	2	no	—
360	C₈	—	4	4	no	—
361	C₈	—	4	2	no	—
362	C₈	—	4	4	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	4	4	no	—
365	C₈	#387	1	2	yes	—
366	C₈	#387	1	2	yes	—
367	C₈	#387	1	2	yes	—
368	C₈	#387	1	2	yes	—
369	C₂²	—	2	2	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	4	1	no	—
373	C₂²	—	4	1	no	—
374	C₂²	—	4	1	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	#2320	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#2361	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2370	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#2421	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#2453	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2496	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2506	1	1	yes	characteristic
383	C₄	—	4	4	no	—
384	C₄	—	8	2	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#2293	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2362	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#2422	1	1	yes	characteristic
392	C₄	#2452	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2494	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2509	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	1	no	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	2	1	no	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	#14133	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#23043	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2361
prime radical	C₂⁴	2₋¹⁺⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
22. #1952	C₄	semidirect
23. #1951	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21181	2
#21163	2
#21042	2
#20460	2
#11304	2
#11297	2
#10900	2
#10873	2
#10865	2
#10860	2
#10707	2