Subgroups — #37422

Order 256.

1191 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#540	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2703	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2696	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2298	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#540	—	2	8	no	—
17	#536	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#400	C₂²	1	8	yes	—
36	#397	C₂²	1	8	yes	—
37	#394	C₂²	1	8	yes	—
38	#393	C₂²	1	8	yes	—
39	#392	C₂²	1	8	yes	—
40	#392	C₂²	1	8	yes	—
41	#391	C₂²	1	2	yes	—
42	#391	C₂²	1	2	yes	—
43	#391	C₂²	1	2	yes	—
44	#390	C₂²	1	8	yes	—
45	#390	C₂²	1	2	yes	—
46	#388	C₂²	1	8	yes	—
47	#388	C₂²	1	4	yes	—
48	#387	C₂²	1	4	yes	—
49	#386	C₂²	1	8	yes	—
50	#386	C₂²	1	8	yes	—
51	#386	C₂²	1	8	yes	—
52	#380	C₂²	1	8	yes	—
53	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
55	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#41	—	2	4	no	—
58	C₂×#41	—	4	4	no	—
59	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
60	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
76	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
77	#127	—	2	4	no	—
78	#127	—	4	4	no	—
79	#125	—	2	4	no	—
80	#124	—	2	4	no	—
81	#124	—	2	4	no	—
82	#124	—	4	4	no	—
83	#124	—	4	4	no	—
84	#124	—	4	4	no	—
85	#123	—	2	16	no	—
86	#123	—	2	16	no	—
87	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
88	#121	—	2	8	no	—
89	#121	—	2	16	no	—
90	C₄×D₄	—	2	8	no	—
91	#117	D₄	1	8	yes	complemented
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#95	C₂³	1	4	yes	—
114	#95	C₂³	1	4	yes	—
115	#95	C₂³	1	4	yes	—
116	#95	C₂³	1	8	yes	—
117	#95	C₂³	1	8	yes	—
118	#95	C₂³	1	8	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
120	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
121	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	#41	—	4	16	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	2	8	no	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	4	4	no	—
141	C₂×D₄	—	4	8	no	—
142	C₂×D₄	—	4	8	no	—
143	C₂×D₄	—	4	8	no	—
144	C₂×D₄	—	4	8	no	—
145	C₂×D₄	—	4	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
180	C₄²	—	2	4	no	—
181	C₄²	—	2	4	no	—
182	C₄²	—	4	4	no	—
183	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	2	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	4	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	—	2	8	no	—
193	C₂³	—	2	8	no	—
194	C₂³	—	2	8	no	—
195	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
196	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
197	Q₈	—	4	8	no	—
198	Q₈	—	4	4	no	—
199	Q₈	—	4	4	no	—
200	Q₈	—	4	4	no	—
201	D₄	—	4	8	no	—
202	D₄	—	4	8	no	—
203	D₄	—	4	4	no	—
204	D₄	—	8	8	no	—
205	D₄	—	8	8	no	—
206	D₄	—	8	16	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂×C₄	—	8	8	no	—
228	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
230	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
233	C₂²	—	2	2	no	—
234	C₂²	—	2	4	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	2	no	—
237	C₂²	—	4	4	no	—
238	C₂²	—	4	4	no	—
239	C₂²	—	4	4	no	—
240	C₂²	—	4	4	no	—
241	C₂²	—	4	8	no	—
242	C₂²	—	4	8	no	—
243	C₂²	—	4	8	no	—
244	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
246	C₂²	#585	1	4	yes	—
247	C₄	—	2	2	no	—
248	C₄	—	2	4	no	—
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	—	4	2	no	—
251	C₄	—	4	2	no	—
252	C₄	—	4	2	no	—
253	C₄	—	4	4	no	—
254	C₄	—	4	4	no	—
255	C₄	—	4	4	no	—
256	C₄	#535	1	4	yes	—
257	C₂	—	4	2	no	—
258	C₂	—	8	2	no	—
259	C₂	—	8	4	no	—
260	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
261	C₂	#3500	1	2	yes	—
262	C₂	#3562	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#540	C₂	semidirect
2. C₂×#536	C₂	semidirect
3. #2861	C₂	semidirect
4. #2858	C₂	semidirect
5. #2703	C₂	semidirect
6. #2696	C₂	semidirect
7. #2657	C₂	semidirect
8. #2642	C₂	semidirect
9. #2547	C₂	semidirect
10. #2544	C₂	semidirect
11. #2436	C₂	semidirect
12. #2431	C₂	semidirect
13. #2298	C₂	semidirect
91. #117	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#540	2
C₂×#536	2
#2861	2
#2858	2
#2703	2
#2696	2
#2657	2
#2642	2
#2547	2
#2544	2
#2436	2
#2431	2
#2298	2