Subgroups — #374253

Order 512.

2206 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 424 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2920	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1965	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10967	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10857	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#121	C₄	1	4	yes	—
10	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2920	—	2	8	no	—
13	C₂×#432	—	2	2	no	—
14	C₂×#431	—	2	2	no	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	#2856	—	2	2	no	—
22	#2856	—	2	2	no	—
23	#2856	—	2	2	no	—
24	#2856	—	2	2	no	—
25	C₂×#390	C₄	1	4	yes	—
26	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1965	—	2	8	no	—
29	#1749	—	2	2	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
32	#1728	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#127	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	—	2	1	no	—
42	C₂×#127	—	2	1	no	—
43	C₂×#127	—	2	4	no	—
44	C₂×#127	—	2	4	no	—
45	C₂×#121	—	2	4	no	—
46	C₂×#121	—	2	4	no	—
47	C₂×#121	—	2	4	no	—
48	C₂×#121	—	2	4	no	—
49	C₂×#121	—	2	4	no	—
50	C₂×#121	—	2	4	no	—
51	C₂×#121	—	4	8	no	—
52	C₂×#121	—	4	16	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#432	—	2	16	no	—
67	#431	—	2	16	no	—
68	#423	—	2	4	no	—
69	#423	D₄	1	8	yes	complemented
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×#100	—	2	16	no	—
72	C₂×#100	—	2	16	no	—
73	C₂×#100	—	4	8	no	—
74	#407	—	2	8	no	—
75	#407	—	2	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	4	no	—
86	#390	—	2	4	no	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	2	4	no	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#390	—	2	2	no	—
92	#384	—	2	2	no	—
93	#384	—	2	1	no	—
94	#384	—	2	1	no	—
95	#343	—	4	8	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
120	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	#127	—	4	4	no	—
144	#127	—	4	4	no	—
145	#127	—	4	4	no	—
146	#127	—	4	4	no	—
147	#121	—	4	16	no	—
148	#121	—	4	16	no	—
149	#121	—	4	16	no	—
150	#121	—	4	16	no	—
151	#121	—	4	16	no	—
152	#121	—	4	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	#100	—	4	32	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
189	#97	—	2	8	no	—
190	#97	—	4	4	no	—
191	C₄×C₈	—	2	8	no	—
192	C₄×C₈	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	2	8	no	—
199	C₂⁴	—	2	8	no	—
200	C₂⁴	—	2	8	no	—
201	C₂⁴	—	4	2	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	16	no	—
209	C₂×D₄	—	4	16	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	8	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	8	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	8	32	no	—
227	C₂×D₄	—	8	32	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	#100	1	8	yes	complemented
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
275	M₁₆	—	2	8	no	—
276	M₁₆	—	2	16	no	—
277	M₁₆	—	2	8	no	—
278	M₁₆	—	4	4	no	—
279	M₁₆	—	4	8	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	8	no	—
283	C₂×C₈	—	4	4	no	—
284	C₂×C₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	1	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	4	no	—
300	C₄²	—	2	4	no	—
301	C₄²	—	2	4	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	#120	1	4	yes	—
304	C₄²	#121	1	4	yes	—
305	C₄²	#121	1	4	yes	—
306	C₄²	#123	1	4	yes	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	8	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	2	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	4	8	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	8	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	4	16	no	—
326	C₂³	—	8	8	no	—
327	C₂³	—	8	16	no	—
328	C₂³	—	8	8	no	—
329	C₂³	—	8	16	no	—
330	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
331	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
333	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
334	C₂³	#518	1	2	yes	—
335	D₄	—	8	16	no	—
336	D₄	—	8	32	no	—
337	D₄	—	8	16	no	—
338	D₄	—	8	8	no	—
339	D₄	—	8	4	no	—
340	D₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	16	no	—
346	C₂×C₄	—	2	16	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	—	4	8	no	—
356	C₂×C₄	—	4	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	8	8	no	—
364	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#413	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
378	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
379	C₂×C₄	#555	1	4	yes	—
380	C₈	—	4	8	no	—
381	C₈	—	4	8	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	4	16	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	8	4	no	—
395	C₂²	—	8	4	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	8	8	no	—
398	C₂²	—	8	8	no	—
399	C₂²	—	16	16	no	—
400	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	#2363	1	4	yes	—
404	C₂²	C₂²×#100	1	2	yes	—
405	C₂²	C₂×#413	1	2	yes	—
406	C₄	—	2	4	no	—
407	C₄	—	2	4	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	8	4	no	—
411	C₄	#1900	1	8	yes	—
412	C₄	#2414	1	4	yes	—
413	C₄	#2431	1	2	yes	—
414	C₄	#2500	1	2	yes	—
415	C₂	—	2	4	no	—
416	C₂	—	4	4	no	—
417	C₂	—	16	4	no	—
418	C₂	#14136	1	1	yes	characteristic
419	C₂	C₂×#1900	1	2	yes	—
420	C₂	#21424	1	2	yes	—
421	C₂	#21797	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#21800	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2920	C₂	semidirect
3. C₂×#1965	C₂	semidirect
4. C₄×#407	C₂	semidirect
5. #10967	C₂	semidirect
6. #10962	C₂	semidirect
7. #10857	C₂	semidirect
69. #423	D₄	semidirect
262. C₂²×C₄	#100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2920	2
C₂×#2856	2
C₂×#1965	2
C₄×#407	2
#10967	2
#10962	2
#10857	2