Subgroups — #374324

Order 512.

2566 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1875	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11051	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10841	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#121	—	2	2	no	—
10	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#2856	—	2	4	no	—
17	#2856	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#390	—	2	2	no	—
19	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	—	2	8	no	—
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#380	—	2	2	no	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	#1957	—	2	8	no	—
27	#1875	—	2	16	no	—
28	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
29	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×#127	—	2	4	no	—
38	C₂×#127	—	2	2	no	—
39	C₂×#127	—	2	4	no	—
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×#121	—	2	16	no	—
42	C₂×#121	—	2	4	no	—
43	C₂×#121	—	2	8	no	—
44	C₂×#121	—	2	8	no	—
45	C₂×#121	—	4	16	no	—
46	C₂×#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×#117	—	2	8	no	—
48	C₂×#117	—	2	8	no	—
49	C₂×#117	—	4	4	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#102	—	2	16	no	—
66	C₂×#102	—	2	16	no	—
67	C₂×#102	—	4	8	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
74	#390	—	2	16	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#384	—	2	2	no	—
78	#384	—	2	4	no	—
79	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#384	D₄	1	8	yes	complemented
81	#382	—	2	8	no	—
82	#380	—	2	16	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
84	C₂×#95	—	2	4	no	—
85	#340	—	2	16	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	C₂⁵	—	2	2	no	—
88	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	#127	—	2	16	no	—
133	#127	—	4	8	no	—
134	#121	—	2	32	no	—
135	#121	—	4	64	no	—
136	#121	—	4	16	no	—
137	#117	—	4	32	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
175	#102	—	4	32	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
177	C₄×C₈	—	4	8	no	—
178	#95	—	2	16	no	—
179	C₂⁴	—	2	1	no	—
180	C₂⁴	—	2	1	no	—
181	C₂⁴	—	2	1	no	—
182	C₂⁴	—	2	1	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	4	2	no	—
187	C₂⁴	—	4	2	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	8	no	—
193	C₂⁴	—	4	8	no	—
194	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
196	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×D₄	—	2	8	no	—
199	C₂×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	4	32	no	—
202	C₂×D₄	—	4	16	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	8	16	no	—
214	C₂×D₄	—	8	16	no	—
215	C₂×D₄	—	8	16	no	—
216	C₂×D₄	—	8	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	16	no	—
285	C₄²	—	4	16	no	—
286	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
287	C₄²	#121	1	8	yes	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	8	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	8	8	no	—
310	C₂³	—	8	4	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	—	8	4	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	8	no	—
317	C₂³	—	8	8	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	#390	1	4	yes	—
322	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
330	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
331	D₄	—	4	16	no	—
332	D₄	—	8	32	no	—
333	D₄	—	8	32	no	—
334	D₄	—	8	8	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	16	no	—
342	C₂×C₄	—	2	16	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	32	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	16	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	4	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	8	no	—
358	C₂×C₄	#386	1	8	yes	—
359	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#416	1	8	yes	—
361	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
362	C₂×C₄	#449	1	16	yes	—
363	C₂×C₄	#482	1	16	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
372	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
374	C₈	—	4	8	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	8	4	no	—
385	C₂²	—	8	8	no	—
386	C₂²	—	8	8	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	16	4	no	—
390	C₂²	—	16	4	no	—
391	C₂²	—	16	4	no	—
392	C₂²	—	16	4	no	—
393	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2436	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#2504	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×#416	1	2	yes	—
401	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
402	C₂²	C₂×#449	1	4	yes	—
403	C₂²	C₂×#482	1	4	yes	—
404	C₂²	#3131	1	2	yes	—
405	C₂²	#3138	1	2	yes	—
406	C₂²	#3147	1	2	yes	—
407	C₂²	#3151	1	2	yes	—
408	C₂²	#3207	1	4	yes	—
409	C₂²	#3228	1	4	yes	—
410	C₄	—	2	4	no	—
411	C₄	—	4	4	no	—
412	C₄	—	8	8	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	#1875	1	16	yes	complemented
415	C₄	#2361	1	4	yes	—
416	C₄	#2416	1	4	yes	—
417	C₂	—	4	4	no	—
418	C₂	—	16	4	no	—
419	C₂	#14137	1	1	yes	characteristic
420	C₂	C₂×#1875	1	2	yes	—
421	C₂	#21195	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#21203	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#21863	1	2	yes	—
424	C₂	#25720	1	2	yes	—
425	C₂	#25905	1	2	yes	—
426	C₂	#27907	1	2	yes	—
427	C₂	#27974	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2285	C₂	semidirect
3. C₂×#1957	C₂	semidirect
4. C₂×#1875	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
6. #11051	C₂	semidirect
7. #10841	C₂	semidirect
17. #2856	C₄	semidirect
70. C₂×C₂²⋊C₈	D₄	semidirect
80. #384	D₄	semidirect
414. C₄	#1875	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2856	2
C₂×#2285	2
C₂×#1957	2
C₂×#1875	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#11051	2
#10841	2