Subgroups — #374352

Order 512.

2066 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2619	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1965	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1900	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20377	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11044	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2905	—	2	8	no	—
13	C₂×#424	—	2	4	no	—
14	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	#2619	—	2	4	no	—
20	#2619	—	2	4	no	—
21	C₂×#394	C₄	1	4	yes	—
22	C₂×#392	C₄	1	4	yes	—
23	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1965	—	2	8	no	—
26	#1900	—	2	16	no	—
27	#1750	—	2	4	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
29	#1728	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	—	2	2	no	—
42	C₂×#127	—	2	2	no	—
43	C₂×#127	—	2	4	no	—
44	C₂×#127	—	2	4	no	—
45	C₂×#121	—	2	4	no	—
46	C₂×#121	—	2	4	no	—
47	C₂×#121	—	2	8	no	—
48	C₂×#121	—	2	8	no	—
49	C₂×#117	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	—	2	4	no	—
51	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#424	—	2	32	no	—
61	#423	—	2	8	no	—
62	#423	—	2	4	no	—
63	#423	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×#100	—	2	16	no	—
67	C₂×#100	—	2	16	no	—
68	C₂×#100	—	4	8	no	—
69	#407	—	2	4	no	—
70	#407	D₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	#394	—	2	16	no	—
77	#392	—	2	16	no	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#382	—	2	2	no	—
81	#382	—	2	2	no	—
82	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	#343	—	2	16	no	—
84	#336	—	2	4	no	—
85	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
133	#127	—	4	4	no	—
134	#127	—	4	4	no	—
135	#127	—	4	4	no	—
136	#127	—	4	4	no	—
137	#121	—	4	16	no	—
138	#121	—	4	8	no	—
139	#121	—	4	8	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	#117	—	2	8	no	—
142	#117	—	2	8	no	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
164	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
166	#100	—	4	32	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
168	#97	—	4	4	no	—
169	C₄×C₈	—	4	4	no	—
170	#95	—	2	8	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	8	no	—
175	C₂⁴	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	—	2	8	no	—
177	C₂⁴	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	—	4	8	no	—
179	C₂⁴	—	4	8	no	—
180	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
182	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×D₄	—	4	16	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	8	16	no	—
199	C₂×D₄	—	8	16	no	—
200	C₂×D₄	—	8	32	no	—
201	C₂×D₄	—	8	32	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	—	2	16	no	—
238	M₁₆	—	2	8	no	—
239	M₁₆	—	4	16	no	—
240	M₁₆	—	4	8	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	16	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	#120	1	4	yes	—
261	C₄²	#121	1	4	yes	—
262	C₄²	#121	1	4	yes	—
263	C₄²	#123	1	4	yes	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	16	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	—	8	4	no	—
278	C₂³	—	8	8	no	—
279	C₂³	—	8	16	no	—
280	C₂³	—	8	16	no	—
281	C₂³	—	8	8	no	—
282	C₂³	#390	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	#520	1	2	yes	—
287	D₄	—	8	32	no	—
288	D₄	—	8	32	no	—
289	D₄	—	8	8	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	2	no	—
293	D₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	8	no	—
310	C₂×C₄	#386	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
325	C₈	—	4	8	no	—
326	C₈	—	4	8	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	8	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	8	8	no	—
335	C₂²	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	8	8	no	—
337	C₂²	—	8	4	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	8	8	no	—
340	C₂²	—	16	16	no	—
341	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2361	1	4	yes	—
345	C₂²	#2888	1	4	yes	—
346	C₄	—	2	4	no	—
347	C₄	—	2	8	no	—
348	C₄	—	4	4	no	—
349	C₄	—	8	4	no	—
350	C₄	#2416	1	4	yes	—
351	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
355	C₂	—	2	4	no	—
356	C₂	—	4	4	no	—
357	C₂	—	16	4	no	—
358	C₂	#14137	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20990	1	2	yes	—
360	C₂	#21219	1	2	yes	—
361	C₂	#21882	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#2619	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2905	C₂	semidirect
3. C₂×#1965	C₂	semidirect
4. C₂×#1900	C₂	semidirect
5. #20377	C₂	semidirect
6. #11044	C₂	semidirect
7. #10858	C₂	semidirect
63. #423	D₄	semidirect
70. #407	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2905	2
C₂×#2619	2
C₂×#1965	2
C₂×#1900	2
#20377	2
#11044	2
#10858	2