Subgroups — #374357

Order 512.

1698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1966	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1915	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₄×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11048	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2906	—	2	8	no	—
13	#2905	—	2	2	no	—
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#423	—	2	2	no	—
16	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#101	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	#2857	—	2	2	no	—
21	#2621	—	2	2	no	—
22	#2547	—	2	2	no	—
23	#2546	—	2	2	no	—
24	#2486	C₄	1	8	yes	—
25	#2310	C₂²	1	2	yes	—
26	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1966	—	2	8	no	—
28	#1915	—	2	16	no	—
29	C₄×#101	—	2	2	no	—
30	C₄×#100	—	2	2	no	—
31	C₂×#344	C₂²	1	8	yes	—
32	#1742	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
35	#568	—	2	8	no	—
36	#568	—	4	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	#536	—	2	8	no	—
42	#536	—	2	8	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
50	C₂×#124	—	2	2	no	—
51	C₂×#123	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₄×#41	—	2	4	no	—
54	C₄×#41	—	2	2	no	—
55	C₄×#41	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#424	—	2	16	no	—
66	#424	—	2	8	no	—
67	#423	—	2	8	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	—	2	4	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	D₄	1	8	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
74	#413	—	2	4	no	—
75	#413	D₄	1	8	yes	—
76	C₂×#101	—	2	2	no	—
77	C₂×#101	—	2	16	no	—
78	C₂×#101	—	2	16	no	—
79	C₂×#101	—	4	8	no	—
80	C₂×#100	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	#398	—	2	8	no	—
86	#397	—	2	8	no	—
87	#391	—	2	4	no	—
88	#391	—	2	4	no	—
89	#389	—	2	8	no	—
90	#384	—	2	1	no	—
91	#382	—	2	1	no	—
92	#381	C₂×C₄	1	8	yes	—
93	#380	—	2	8	no	—
94	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	#344	—	2	16	no	—
97	#343	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#131	—	4	32	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
142	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
145	#124	—	4	8	no	—
146	#123	—	2	32	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	8	no	—
152	C₄×D₄	—	2	8	no	—
153	C₄×D₄	—	2	4	no	—
154	C₄×D₄	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	4	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
189	#101	—	2	8	no	—
190	#101	—	4	32	no	—
191	#100	—	2	8	no	—
192	#97	—	4	4	no	—
193	C₄×C₈	—	4	4	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	#95	—	2	16	no	—
196	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	2	8	no	—
200	#41	—	2	8	no	—
201	#41	—	2	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
223	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	2	8	no	—
255	M₁₆	—	2	16	no	—
256	M₁₆	—	4	16	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	8	no	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	16	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	#120	1	2	yes	—
286	C₄²	#120	1	2	yes	—
287	C₄²	#121	1	4	yes	—
288	C₄²	#121	1	4	yes	—
289	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	#123	1	2	yes	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	#390	1	4	yes	—
297	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
300	C₂³	#520	1	2	yes	—
301	Q₈	—	2	8	no	—
302	Q₈	—	8	8	no	—
303	Q₈	—	8	2	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	2	no	—
307	D₄	—	2	16	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	16	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
346	C₈	—	4	8	no	—
347	C₈	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	8	2	no	—
356	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2361	1	4	yes	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	#1915	1	4	yes	complemented
367	C₄	#2416	1	4	yes	—
368	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
372	C₂	—	2	1	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	4	no	—
375	C₂	—	4	4	no	—
376	C₂	#14137	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#1915	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1966	C₂	semidirect
6. #11048	C₂	semidirect
7. #10848	C₂	semidirect
366. C₄	#1915	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60099	2
#35316	2
C₂×#1966	2
C₂×#1915	2
C₄×#413	2
#11048	2
#10848	2