Subgroups — #374396

Order 512.

1722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21259	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1909	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₄×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11074	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10836	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2906	—	2	8	no	—
13	#2905	—	2	2	no	—
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#423	—	2	2	no	—
16	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#419	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
19	#2857	—	2	2	no	—
20	#2621	—	2	2	no	—
21	#2547	C₄	1	4	yes	complemented
22	#2546	C₄	1	4	yes	complemented
23	#2486	—	2	4	no	—
24	#2310	C₂²	1	2	yes	—
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
27	#1981	—	2	8	no	—
28	#1909	—	2	16	no	—
29	C₄×#99	—	2	4	no	—
30	#1740	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
34	#568	—	2	8	no	—
35	#568	—	4	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	#536	—	2	8	no	—
40	#536	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#123	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₄×#41	—	2	4	no	—
52	C₄×#41	—	2	2	no	—
53	C₄×#41	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#424	—	2	16	no	—
65	#424	—	2	8	no	—
66	#423	—	2	8	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	—	2	4	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
73	#419	—	2	16	no	—
74	#419	—	4	8	no	—
75	C₂×#103	—	2	16	no	—
76	#410	—	2	4	no	—
77	#410	D₄	1	8	yes	—
78	C₂×#99	—	2	4	no	—
79	#398	—	2	8	no	—
80	#397	—	2	8	no	—
81	#391	—	2	4	no	—
82	#391	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#389	—	2	8	no	—
84	#384	—	2	1	no	—
85	#382	—	2	1	no	—
86	#381	—	2	4	no	—
87	#380	—	2	8	no	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	#376	—	2	2	no	—
93	C₄³	—	2	2	no	—
94	#342	—	2	4	no	—
95	H(3,ℤ/4)	—	2	16	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	#131	—	4	32	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
128	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
136	#124	—	2	16	no	—
137	#123	—	4	16	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	8	no	—
143	C₄×D₄	—	2	8	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	2	4	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
188	#103	—	4	32	no	—
189	#99	—	2	16	no	—
190	#95	—	2	4	no	—
191	#95	—	2	16	no	—
192	#95	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	2	8	no	—
196	#41	—	2	8	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
214	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
220	C₂×D₄	#121	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
251	M₁₆	—	4	16	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	16	no	—
257	C₂×C₈	—	4	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	8	no	—
280	C₄²	—	2	8	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	8	8	no	—
283	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
284	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
285	C₄²	#120	1	2	yes	—
286	C₄²	#120	1	2	yes	—
287	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	#123	1	2	yes	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	#390	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
298	C₂³	#537	1	2	yes	—
299	Q₈	—	2	8	no	—
300	Q₈	—	4	16	no	—
301	Q₈	—	8	2	no	—
302	Q₈	—	8	2	no	—
303	Q₈	—	8	2	no	—
304	Q₈	—	8	2	no	—
305	D₄	—	2	16	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	8	8	no	—
329	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
346	C₈	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2416	1	4	yes	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	8	4	no	—
364	C₄	—	8	8	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	#1909	1	4	yes	complemented
367	C₄	#2361	1	4	yes	—
368	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
372	C₂	—	2	1	no	—
373	C₂	—	2	4	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	4	4	no	—
376	C₂	#14137	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#1909	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21259	C₂	semidirect
6. #11074	C₂	semidirect
7. #10836	C₂	semidirect
21. #2547	C₄	semidirect
22. #2546	C₄	semidirect
366. C₄	#1909	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60099	2
#35316	2
#21259	2
C₂×#1909	2
C₄×#410	2
#11074	2
#10836	2