Subgroups — #374428

Order 512.

1662 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 453 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3059	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21232	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20962	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20955	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11130	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10871	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#536	C₂²	1	2	yes	—
12	#3428	C₂²	1	2	yes	—
13	#3059	—	2	4	no	—
14	#3059	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#470	—	2	2	no	—
16	C₂×#467	—	2	2	no	—
17	#2913	—	2	4	no	—
18	#2912	—	2	4	no	—
19	#2911	—	2	2	no	—
20	#2911	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#427	—	2	2	no	—
22	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
29	#2310	C₂²	1	4	yes	—
30	#1971	—	2	4	no	—
31	#1969	—	2	4	no	—
32	#1890	—	2	8	no	—
33	#1886	—	2	4	no	—
34	#1885	—	2	4	no	—
35	#1757	—	2	4	no	—
36	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
37	#1740	C₂²	1	4	yes	—
38	#1733	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₂×#131	—	2	2	no	—
50	C₂×#131	—	2	4	no	—
51	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#536	—	2	4	no	—
59	#536	—	2	4	no	—
60	#536	—	2	4	no	—
61	#536	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×#123	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	#520	—	2	8	no	—
67	#519	—	2	2	no	—
68	#518	—	2	4	no	—
69	#518	—	2	2	no	—
70	C₄×#41	—	4	4	no	—
71	C₂×#117	—	2	4	no	—
72	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
75	#470	—	2	16	no	—
76	#467	—	2	16	no	—
77	#428	—	2	16	no	—
78	#428	—	2	8	no	—
79	#427	—	2	4	no	—
80	#427	—	2	4	no	—
81	#427	—	2	2	no	—
82	#427	—	2	4	no	—
83	#427	—	2	2	no	—
84	#427	—	2	2	no	—
85	#427	—	2	2	no	—
86	#427	—	2	2	no	—
87	#427	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	C₂×#107	—	2	4	no	—
89	C₂×#107	—	2	1	no	—
90	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
91	C₂×#106	—	2	4	no	—
92	C₂×#106	—	2	1	no	—
93	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
94	#419	—	2	4	no	—
95	#419	—	2	8	no	—
96	#419	—	4	4	no	—
97	#419	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	C₂×#103	—	2	4	no	—
99	C₂×#103	—	2	8	no	—
100	#413	—	2	2	no	—
101	#413	—	2	2	no	—
102	C₂×#101	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×#100	D₄	1	2	yes	—
104	#410	—	2	2	no	—
105	#410	—	2	2	no	—
106	C₂×#99	D₄	1	4	yes	—
107	#405	—	2	4	no	—
108	#405	—	2	4	no	—
109	C₂×#97	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
111	#391	—	2	8	no	—
112	#391	—	4	4	no	—
113	#381	—	2	8	no	—
114	#344	—	2	4	no	—
115	#342	—	2	8	no	—
116	#339	—	2	8	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
124	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
125	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	4	1	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
152	#131	—	2	8	no	—
153	#131	—	2	8	no	—
154	#131	—	2	8	no	—
155	#131	—	2	8	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
166	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
182	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
183	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
184	#124	—	2	8	no	—
185	#124	—	4	4	no	—
186	#123	—	2	16	no	—
187	#123	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
189	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
190	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
191	C₄×D₄	—	4	8	no	—
192	C₄×D₄	—	4	16	no	—
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	2	no	—
199	#117	—	2	8	no	—
200	#117	—	2	4	no	—
201	#117	—	2	4	no	—
202	#117	—	2	4	no	—
203	#117	—	2	2	no	—
204	#117	—	2	4	no	—
205	#117	—	4	4	no	—
206	#117	—	4	4	no	—
207	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
222	#107	—	2	8	no	—
223	#107	—	2	4	no	—
224	#107	—	2	4	no	—
225	#107	—	2	4	no	—
226	#106	—	2	8	no	—
227	#106	—	2	4	no	—
228	#106	—	2	4	no	—
229	#106	—	2	4	no	—
230	#103	—	2	16	no	—
231	#103	—	4	16	no	—
232	#101	—	2	4	no	—
233	#100	—	2	4	no	—
234	#99	—	2	8	no	—
235	#97	—	4	4	no	—
236	C₄×C₈	—	4	4	no	—
237	#95	—	4	16	no	—
238	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
239	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	#41	—	2	4	no	—
241	#41	—	2	4	no	—
242	#41	—	2	4	no	—
243	#41	—	2	4	no	—
244	#41	—	2	4	no	—
245	#41	—	2	4	no	—
246	#41	—	2	4	no	—
247	#41	—	2	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
268	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
269	C₂×Q₈	#121	1	2	yes	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	2	2	no	—
273	C₂×D₄	—	2	2	no	—
274	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
275	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
276	C₂×D₄	#121	1	2	yes	—
277	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
304	Q₁₆	—	4	4	no	—
305	Q₁₆	—	4	4	no	—
306	Q₁₆	—	4	8	no	—
307	M₁₆	—	2	4	no	—
308	M₁₆	—	2	4	no	—
309	M₁₆	—	2	16	no	—
310	M₁₆	—	2	4	no	—
311	M₁₆	—	2	4	no	—
312	M₁₆	—	4	2	no	—
313	M₁₆	—	4	2	no	—
314	C₂×C₈	—	2	2	no	—
315	C₂×C₈	—	2	2	no	—
316	C₂×C₈	—	2	8	no	—
317	C₂×C₈	—	2	8	no	—
318	C₂×C₈	—	2	4	no	—
319	C₂×C₈	—	4	2	no	—
320	C₂×C₈	—	4	2	no	—
321	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
325	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
326	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
328	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
330	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
331	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
332	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
333	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
335	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
338	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
339	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
340	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
347	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
348	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
349	C₄²	—	2	4	no	—
350	C₄²	—	4	8	no	—
351	C₄²	—	4	2	no	—
352	C₄²	—	4	2	no	—
353	C₄²	—	4	4	no	—
354	C₄²	—	4	4	no	—
355	C₄²	—	4	2	no	—
356	C₂³	—	2	2	no	—
357	C₂³	—	2	2	no	—
358	C₂³	—	4	2	no	—
359	C₂³	—	4	4	no	—
360	C₂³	#390	1	4	yes	—
361	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
364	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
365	C₂³	#547	1	2	yes	—
366	Q₈	—	2	4	no	—
367	Q₈	—	2	4	no	—
368	Q₈	—	4	4	no	—
369	Q₈	—	4	8	no	—
370	Q₈	—	4	4	no	—
371	Q₈	—	8	4	no	—
372	Q₈	—	8	2	no	—
373	Q₈	—	8	2	no	—
374	D₄	—	2	8	no	—
375	D₄	—	2	8	no	—
376	D₄	—	2	4	no	—
377	D₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	2	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	2	4	no	—
383	C₂×C₄	—	2	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	8	no	—
385	C₂×C₄	—	4	8	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	8	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	4	no	—
390	C₂×C₄	—	8	4	no	—
391	C₂×C₄	—	8	4	no	—
392	C₂×C₄	—	8	2	no	—
393	C₂×C₄	—	8	2	no	—
394	C₂×C₄	—	8	8	no	—
395	C₂×C₄	—	16	8	no	—
396	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
407	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
410	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
411	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
412	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
413	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
415	C₈	—	2	4	no	—
416	C₈	—	4	4	no	—
417	C₈	#386	1	2	yes	—
418	C₈	#386	1	2	yes	—
419	C₈	#386	1	4	yes	—
420	C₂²	—	2	4	no	—
421	C₂²	—	2	2	no	—
422	C₂²	—	2	4	no	—
423	C₂²	—	4	1	no	—
424	C₂²	—	4	1	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	4	4	no	—
427	C₂²	—	4	4	no	—
428	C₂²	—	8	2	no	—
429	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	#2361	1	2	yes	—
431	C₂²	#2416	1	2	yes	—
432	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
433	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
434	C₄	—	2	4	no	—
435	C₄	—	8	4	no	—
436	C₄	—	8	4	no	—
437	C₄	—	8	4	no	—
438	C₄	—	8	8	no	—
439	C₄	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
440	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
441	C₄	#2361	1	2	yes	—
442	C₄	#2416	1	2	yes	—
443	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
444	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
445	C₂	—	2	1	no	—
446	C₂	—	2	2	no	—
447	C₂	—	2	1	no	—
448	C₂	—	2	2	no	—
449	C₂	—	4	4	no	—
450	C₂	#14137	1	1	yes	characteristic
451	C₂	#25800	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2433
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21232	C₂	semidirect
7. #11130	C₂	semidirect
8. #10871	C₂	semidirect
14. #3059	C₄	semidirect
47. C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
87. #427	C₂×C₄	semidirect
97. #419	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3059	2
#60108	2
#21232	2
#20962	2
#20955	2
C₂×#1757	2
#11130	2
#10871	2