Subgroups — #374441

Order 512.

1730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 447 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2916	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1978	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1914	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1910	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11133	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#535	C₂²	1	2	yes	—
13	#3058	—	2	4	no	—
14	#3058	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#469	—	2	2	no	—
16	C₂×#466	—	2	2	no	—
17	#2916	—	2	8	no	—
18	C₂×#430	—	2	2	no	—
19	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#108	—	2	2	no	—
21	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
29	#1978	—	2	8	no	—
30	#1914	—	2	8	no	—
31	#1910	—	2	8	no	—
32	#1757	—	2	4	no	—
33	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	#568	—	2	8	no	—
46	#568	—	2	4	no	—
47	#568	—	2	4	no	—
48	C₂×#131	—	2	4	no	—
49	C₂×#131	—	2	2	no	—
50	C₂×#131	—	2	2	no	—
51	C₂×#131	—	4	4	no	—
52	C₂×#131	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#535	—	2	4	no	—
62	#535	—	2	4	no	—
63	#535	—	2	4	no	—
64	#535	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×#127	—	2	2	no	—
66	C₂×#124	—	2	2	no	—
67	C₂×#121	—	2	4	no	—
68	C₂×#120	—	2	4	no	—
69	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	#469	—	2	16	no	—
72	#466	—	2	16	no	—
73	#430	—	2	16	no	—
74	#430	—	2	8	no	—
75	C₂×#108	—	2	16	no	—
76	C₂×#108	—	2	2	no	—
77	C₂×#108	—	2	4	no	—
78	C₂×#108	—	2	2	no	—
79	C₂×#108	—	2	4	no	—
80	C₂×#108	D₄	1	8	yes	complemented
81	#427	—	2	2	no	—
82	#427	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×#107	—	2	1	no	—
84	C₂×#106	—	2	1	no	—
85	#418	—	2	4	no	—
86	#418	—	2	8	no	—
87	#418	—	2	8	no	—
88	#418	C₂×C₄	1	8	yes	—
89	C₂×#102	—	2	4	no	—
90	C₂×#102	—	4	4	no	—
91	#413	—	2	2	no	—
92	#413	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×#101	—	2	1	no	—
94	C₂×#100	—	2	1	no	—
95	C₂×#100	—	2	8	no	—
96	C₂×#100	—	2	8	no	—
97	C₂×#100	—	4	4	no	—
98	#410	—	2	2	no	—
99	#410	D₄	1	4	yes	—
100	C₂×#99	—	2	2	no	—
101	#405	—	2	4	no	—
102	#405	—	2	4	no	—
103	C₂×#97	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
105	#344	—	2	8	no	—
106	#344	—	2	4	no	—
107	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
108	C₂⁵	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₂×D₈	—	2	4	no	—
134	C₂×D₈	—	2	4	no	—
135	C₂×D₈	—	2	8	no	—
136	C₂×D₈	—	2	8	no	—
137	C₂×D₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×D₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₈	—	4	4	no	—
141	C₂×D₈	—	4	1	no	—
142	C₂×D₈	—	4	1	no	—
143	C₂×D₈	—	4	2	no	—
144	#131	—	2	8	no	—
145	#131	—	2	8	no	—
146	#131	—	2	8	no	—
147	#131	—	2	8	no	—
148	#131	—	4	16	no	—
149	#131	—	4	16	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
166	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
167	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
168	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
186	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
187	#127	—	2	8	no	—
188	#127	—	4	4	no	—
189	#124	—	2	8	no	—
190	#124	—	4	4	no	—
191	#121	—	2	16	no	—
192	#121	—	4	8	no	—
193	#120	—	2	16	no	—
194	#120	—	4	8	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	2	no	—
199	#117	—	2	2	no	—
200	#117	—	2	2	no	—
201	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
202	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
210	#108	—	2	16	no	—
211	#108	—	2	8	no	—
212	#108	—	2	8	no	—
213	#107	—	2	4	no	—
214	#106	—	2	4	no	—
215	#102	—	2	16	no	—
216	#102	—	4	16	no	—
217	#101	—	2	4	no	—
218	#100	—	2	4	no	—
219	#100	—	4	16	no	—
220	#99	—	2	8	no	—
221	#97	—	4	4	no	—
222	C₄×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	—	4	2	no	—
225	C₂⁴	—	4	2	no	—
226	C₂⁴	—	4	4	no	—
227	C₂⁴	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	—	16	4	no	—
229	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
230	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	4	no	—
233	#41	—	2	4	no	—
234	#41	—	2	4	no	—
235	#41	—	2	4	no	—
236	#41	—	2	4	no	—
237	#41	—	2	4	no	—
238	#41	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×Q₈	#121	1	2	yes	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	16	no	—
252	C₂×D₄	—	4	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	2	no	—
258	C₂×D₄	—	4	2	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	4	4	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	4	no	—
265	C₂×D₄	—	4	4	no	—
266	C₂×D₄	—	16	8	no	—
267	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×D₄	#121	1	2	yes	—
270	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
290	D₈	—	4	4	no	—
291	D₈	—	4	4	no	—
292	D₈	—	4	8	no	—
293	M₁₆	—	2	4	no	—
294	M₁₆	—	2	4	no	—
295	M₁₆	—	2	16	no	—
296	M₁₆	—	2	8	no	—
297	M₁₆	—	2	4	no	—
298	M₁₆	—	2	4	no	—
299	M₁₆	—	2	8	no	—
300	M₁₆	—	4	16	no	—
301	M₁₆	—	4	4	no	—
302	M₁₆	—	4	2	no	—
303	M₁₆	—	4	4	no	—
304	M₁₆	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	8	no	—
308	C₂×C₈	—	2	8	no	—
309	C₂×C₈	—	2	8	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	—	4	16	no	—
312	C₂×C₈	—	4	2	no	—
313	C₂×C₈	—	4	4	no	—
314	C₂×C₈	—	4	4	no	—
315	C₂×C₈	—	4	2	no	—
316	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
317	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
320	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
322	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
323	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
324	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
325	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₈	#123	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
337	C₄²	—	2	4	no	—
338	C₄²	—	2	4	no	—
339	C₄²	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	2	2	no	—
342	C₂³	—	2	2	no	—
343	C₂³	—	4	2	no	—
344	C₂³	—	4	4	no	—
345	C₂³	—	4	4	no	—
346	C₂³	—	4	8	no	—
347	C₂³	—	8	8	no	—
348	C₂³	—	8	4	no	—
349	C₂³	—	8	2	no	—
350	C₂³	—	8	2	no	—
351	C₂³	—	16	8	no	—
352	C₂³	—	16	4	no	—
353	C₂³	—	16	4	no	—
354	C₂³	—	16	8	no	—
355	C₂³	#390	1	4	yes	—
356	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
358	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
359	C₂³	#548	1	2	yes	—
360	C₂³	#553	1	2	yes	—
361	Q₈	—	2	4	no	—
362	Q₈	—	2	4	no	—
363	D₄	—	2	8	no	—
364	D₄	—	2	8	no	—
365	D₄	—	2	4	no	—
366	D₄	—	2	4	no	—
367	D₄	—	4	4	no	—
368	D₄	—	4	8	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	8	4	no	—
371	D₄	—	8	2	no	—
372	D₄	—	8	2	no	—
373	D₄	—	16	16	no	—
374	C₂×C₄	—	2	2	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	4	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	4	no	—
382	C₂×C₄	—	8	4	no	—
383	C₂×C₄	—	8	4	no	—
384	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
403	C₈	—	2	4	no	—
404	C₈	—	4	4	no	—
405	C₈	—	4	8	no	—
406	C₈	#386	1	2	yes	—
407	C₈	#386	1	2	yes	—
408	C₈	#386	1	4	yes	—
409	C₂²	—	2	2	no	—
410	C₂²	—	2	4	no	—
411	C₂²	—	2	4	no	—
412	C₂²	—	4	1	no	—
413	C₂²	—	4	1	no	—
414	C₂²	—	4	2	no	—
415	C₂²	—	4	4	no	—
416	C₂²	—	4	4	no	—
417	C₂²	—	8	2	no	—
418	C₂²	—	8	8	no	—
419	C₂²	—	8	4	no	—
420	C₂²	—	16	8	no	—
421	C₂²	—	16	4	no	—
422	C₂²	—	16	8	no	—
423	C₂²	—	16	4	no	—
424	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
425	C₂²	#2361	1	2	yes	—
426	C₂²	#2416	1	2	yes	—
427	C₂²	#2436	1	1	yes	characteristic
428	C₂²	#2504	1	1	yes	characteristic
429	C₄	—	2	4	no	—
430	C₄	—	8	4	no	—
431	C₄	—	8	4	no	—
432	C₄	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
433	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
434	C₄	#2361	1	2	yes	—
435	C₄	#2416	1	2	yes	—
436	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
437	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
438	C₂	—	2	1	no	—
439	C₂	—	2	2	no	—
440	C₂	—	2	1	no	—
441	C₂	—	2	2	no	—
442	C₂	—	4	4	no	—
443	C₂	—	16	4	no	—
444	C₂	#14137	1	1	yes	characteristic
445	C₂	#27989	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2504
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#3058	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2916	C₂	semidirect
3. C₂×#1978	C₂	semidirect
4. C₂×#1914	C₂	semidirect
5. C₂×#1910	C₂	semidirect
6. C₂×#1757	C₂	semidirect
7. #11133	C₂	semidirect
8. #10868	C₂	semidirect
14. #3058	C₄	semidirect
80. C₂×#108	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3058	2
C₂×#2916	2
C₂×#1978	2
C₂×#1914	2
C₂×#1910	2
C₂×#1757	2
#11133	2
#10868	2