Subgroups — #37447

Order 256.

1257 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2817	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2659	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2639	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2638	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2623	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2614	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2564	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2484	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2412	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2406	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₂×#381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#525	—	2	8	no	—
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	8	yes	—
44	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#394	C₂²	1	8	yes	—
49	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#386	C₂²	1	8	yes	—
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	4	yes	—
56	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#381	C₂²	1	2	yes	—
58	#381	C₂²	1	2	yes	—
59	#381	C₂²	1	4	yes	—
60	#381	C₂²	1	2	yes	—
61	#381	C₂²	1	2	yes	—
62	#380	C₂²	1	8	yes	—
63	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
64	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
65	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#41	—	2	4	no	—
67	C₂×#41	—	4	4	no	—
68	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
78	C₂³×C₄	D₄	1	8	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#123	—	2	8	no	—
90	#123	—	4	8	no	—
91	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
97	#121	—	2	4	no	—
98	#121	—	2	4	no	—
99	#120	—	2	8	no	—
100	C₄×D₄	—	2	8	no	—
101	C₄×D₄	—	2	8	no	—
102	#117	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	#95	C₂³	1	4	yes	—
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	8	yes	—
134	#95	C₂³	1	8	yes	—
135	#95	C₂³	1	8	yes	—
136	#95	C₂³	1	8	yes	—
137	C₂⁴	—	2	4	no	—
138	C₂⁴	—	2	4	no	—
139	C₂⁴	—	4	2	no	—
140	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
144	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#41	—	4	16	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
150	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
151	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
153	C₂×D₄	—	2	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂³	—	2	2	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	8	no	—
220	C₂³	—	2	8	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	4	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	4	4	no	—
229	C₂³	—	4	16	no	—
230	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
234	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
235	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
236	Q₈	—	4	8	no	—
237	Q₈	—	4	8	no	—
238	Q₈	—	4	4	no	—
239	D₄	—	4	4	no	—
240	D₄	—	4	8	no	—
241	D₄	—	4	8	no	—
242	D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	8	8	no	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	2	8	no	—
280	C₂²	—	2	8	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	4	16	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	2	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	#534	1	4	yes	—
291	C₂²	#536	1	4	yes	—
292	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
295	C₂²	#585	1	2	yes	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	2	2	no	—
298	C₄	—	2	2	no	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	4	2	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	4	2	no	—
303	C₄	—	4	4	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	—	4	8	no	—
306	C₂	—	2	4	no	—
307	C₂	—	2	4	no	—
308	C₂	—	4	2	no	—
309	C₂	—	8	2	no	—
310	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
311	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#3535	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2817	C₂	semidirect
4. #2816	C₂	semidirect
5. #2659	C₂	semidirect
6. #2639	C₂	semidirect
7. #2638	C₂	semidirect
8. #2623	C₂	semidirect
9. #2614	C₂	semidirect
10. #2564	C₂	semidirect
11. #2484	C₂	semidirect
12. #2412	C₂	semidirect
13. #2406	C₂	semidirect
14. C₂×#381	C₂	semidirect
38. #400	C₂²	semidirect
39. #400	C₂²	semidirect
40. #399	C₂²	semidirect
41. #398	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
44. #397	C₂²	semidirect
45. #395	C₂²	semidirect
46. #395	C₂²	semidirect
47. #395	C₂²	semidirect
49. #394	C₂²	semidirect
50. #393	C₂²	semidirect
51. #393	C₂²	semidirect
52. #387	C₂²	semidirect
56. #385	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#525	2
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
#2817	2
#2816	2
#2659	2
#2639	2
#2638	2
#2623	2
#2614	2
#2564	2
#2484	2
#2412	2
#2406	2
C₂×#381	2