Subgroups — #374558

Order 512.

1938 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#34181	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11210	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10749	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
10	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#2542	—	2	4	no	—
15	#2542	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#399	—	2	2	no	—
17	#2349	—	2	4	no	—
18	D₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
19	#2316	C₂²	1	2	yes	—
20	#2315	—	2	2	no	—
21	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
22	#2285	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#380	—	2	2	no	—
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1993	—	2	4	no	—
27	#1990	—	2	4	no	—
28	C₄×#100	—	2	4	no	—
29	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
30	#1736	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
41	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
43	#518	—	2	8	no	—
44	#518	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#100	—	2	4	no	—
64	C₂×#100	—	2	4	no	—
65	C₂×#100	Q₈	1	8	yes	complemented
66	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
67	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	#399	—	2	16	no	—
71	#390	—	2	4	no	—
72	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#389	—	2	8	no	—
74	#385	—	2	16	no	—
75	#384	—	2	4	no	—
76	#384	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	#384	D₄	1	4	yes	—
78	#382	D₄	1	4	yes	—
79	#380	—	2	4	no	—
80	#380	—	2	4	no	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	#380	—	2	4	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
88	C₂×#95	—	2	4	no	—
89	C₂×#95	—	2	1	no	—
90	#343	—	2	4	no	—
91	#340	—	2	16	no	—
92	#339	—	4	8	no	—
93	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
96	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
97	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
114	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
127	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
128	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	64	no	—
131	C₄×D₄	—	2	8	no	—
132	C₄×D₄	—	2	8	no	—
133	C₄×D₄	—	2	8	no	—
134	C₄×D₄	—	2	8	no	—
135	C₄×D₄	—	4	32	no	—
136	#117	—	2	8	no	—
137	#117	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
177	#100	—	2	16	no	—
178	#97	—	4	4	no	—
179	C₄×C₈	—	4	4	no	—
180	#95	—	2	8	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	2	no	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂⁴	#124	1	4	yes	—
192	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
193	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
209	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
250	M₁₆	—	2	8	no	—
251	M₁₆	—	2	8	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	2	8	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
277	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
278	C₄²	#121	1	4	yes	—
279	C₄²	#121	1	4	yes	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	2	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	#391	1	8	yes	—
299	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	8	8	no	—
307	Q₈	—	8	8	no	—
308	D₄	—	2	16	no	—
309	D₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	16	16	no	—
335	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#453	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#552	1	4	yes	—
348	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
349	C₈	—	4	8	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	1	no	—
353	C₂²	—	2	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	4	8	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2435	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2503	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#453	1	2	yes	—
375	C₂²	#3022	1	2	yes	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	4	8	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	8	8	no	—
381	C₄	—	8	4	no	—
382	C₄	#1887	1	4	yes	—
383	C₄	#2360	1	4	yes	—
384	C₄	#2417	1	4	yes	—
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	4	8	no	—
390	C₂	#14139	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂×#1887	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20955	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#25824	1	2	yes	—
394	C₂	#25870	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21324	C₂	semidirect
5. #11210	C₂	semidirect
6. #10851	C₂	semidirect
15. #2542	C₄	semidirect
40. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
65. C₂×#100	Q₈	semidirect
76. #384	C₂×C₄	semidirect
87. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2542	2
#34181	2
#21324	2
C₂×C₄×#100	2
#11210	2
#10851	2
#10749	2