Subgroups — #374610

Order 512.

1428 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#35333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21314	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11225	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10836	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10742	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2906	—	2	8	no	—
12	#2905	—	2	2	no	—
13	#2905	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	—	2	2	no	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
17	#2851	—	2	2	no	—
18	#2629	—	2	2	no	—
19	#2579	—	2	4	no	—
20	#2566	C₄	1	4	yes	complemented
21	#2565	C₄	1	4	yes	complemented
22	#2317	C₂²	1	2	yes	—
23	#2311	C₂²	1	2	yes	—
24	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
26	#1989	—	2	8	no	—
27	C₄×#99	—	2	4	no	—
28	#1740	C₂²	1	2	yes	—
29	#1736	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	#568	—	2	8	no	—
33	#568	—	4	4	no	—
34	C₂×#131	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×#125	—	2	1	no	—
38	C₂×#125	—	2	1	no	—
39	C₂×#125	—	2	4	no	—
40	C₂×#125	—	2	2	no	—
41	C₂×#125	—	2	2	no	—
42	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₄×#41	—	2	4	no	—
44	C₄×#41	—	2	2	no	—
45	C₄×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
49	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#424	—	2	16	no	—
58	#424	—	2	8	no	—
59	#423	—	2	8	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	#423	—	2	2	no	—
63	#423	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
66	#410	—	2	4	no	—
67	#410	Q₈	1	8	yes	—
68	C₂×#99	—	2	4	no	—
69	#398	—	2	8	no	—
70	#396	—	2	8	no	—
71	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#389	—	2	4	no	—
74	#387	—	2	8	no	—
75	#386	—	2	4	no	—
76	#385	—	2	8	no	—
77	#385	—	2	4	no	—
78	#384	—	2	1	no	—
79	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#382	—	2	1	no	—
81	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#380	—	2	4	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
87	#376	—	2	2	no	—
88	C₄³	—	2	2	no	—
89	#342	—	2	4	no	—
90	#340	—	2	16	no	—
91	H(3,ℤ/4)	—	4	8	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
98	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	#131	—	4	32	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	#125	—	2	8	no	—
117	#125	—	2	8	no	—
118	#125	—	4	2	no	—
119	#125	—	4	2	no	—
120	#125	—	4	1	no	—
121	#125	—	4	1	no	—
122	#125	—	4	2	no	—
123	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
124	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
125	C₄×D₄	—	2	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	8	no	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	#117	—	2	2	no	—
130	#117	—	2	2	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
172	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
175	#99	—	2	16	no	—
176	#95	—	2	4	no	—
177	#95	—	2	8	no	—
178	#95	—	2	8	no	—
179	#95	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	#41	—	2	8	no	—
183	#41	—	2	8	no	—
184	#41	—	2	8	no	—
185	#41	—	2	8	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
194	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
224	M₁₆	—	4	16	no	—
225	M₁₆	—	4	4	no	—
226	M₁₆	—	4	4	no	—
227	M₁₆	—	4	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	16	no	—
230	C₂×C₈	—	4	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	—	8	8	no	—
259	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
260	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
261	C₄²	#120	1	2	yes	—
262	C₄²	#120	1	2	yes	—
263	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	#123	1	2	yes	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	#391	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
274	C₂³	#537	1	2	yes	—
275	Q₈	—	2	8	no	—
276	D₄	—	2	16	no	—
277	D₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	—	8	8	no	—
300	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#552	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
317	C₈	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2417	1	4	yes	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₄	—	8	4	no	—
336	C₄	—	8	8	no	—
337	C₄	—	8	4	no	—
338	C₄	#2360	1	4	yes	—
339	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#2503	1	1	yes	characteristic
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	—	2	1	no	—
346	C₂	—	4	4	no	—
347	C₂	#14139	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#21009	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#386
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21314	C₂	semidirect
5. #11225	C₂	semidirect
6. #10836	C₂	semidirect
20. #2566	C₄	semidirect
21. #2565	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60099	2
#35333	2
#21314	2
C₄×#410	2
#11225	2
#10836	2
#10742	2