Subgroups — #374821

Order 512.

970 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 439 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21042	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20405	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11165	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11056	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11053	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10895	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10894	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10808	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2911	C₂²	1	2	yes	—
12	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2873	C₂²	1	2	yes	—
18	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	#1922	—	2	4	no	—
21	#1922	—	2	4	no	—
22	#1857	C₄	1	2	yes	complemented
23	#1857	C₄	1	2	yes	complemented
24	#1856	C₄	1	2	yes	complemented
25	#1856	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1759	—	2	4	no	—
27	C₄×#104	—	2	4	no	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1738	C₂²	1	2	yes	—
31	#1733	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	#1728	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	#520	—	2	2	no	—
44	#520	—	2	2	no	—
45	#519	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	#518	—	4	1	no	—
47	#518	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₄×#41	—	2	4	no	—
49	C₂×#117	—	4	1	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	#428	—	2	2	no	—
56	#428	—	2	2	no	—
57	#428	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#428	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#427	—	2	4	no	—
60	#424	—	2	4	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	#423	—	4	1	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
64	#421	—	2	4	no	—
65	#421	—	2	4	no	—
66	C₂×#104	—	2	4	no	—
67	C₂×#104	—	2	4	no	—
68	C₂×#104	—	2	4	no	—
69	C₂×#104	—	2	2	no	—
70	C₂×#104	—	2	2	no	—
71	#413	—	2	2	no	—
72	#413	—	2	2	no	—
73	C₂×#101	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#100	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#405	—	2	4	no	—
76	#405	—	4	2	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
78	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	#391	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	#390	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#386	—	4	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
87	#376	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	—	4	1	no	—
89	C₄³	—	2	2	no	—
90	#344	—	2	4	no	—
91	#342	—	4	1	no	—
92	#341	—	2	4	no	—
93	#339	—	2	4	no	—
94	#339	—	2	4	no	—
95	#339	—	2	4	no	—
96	#339	—	2	2	no	—
97	#339	—	2	2	no	—
98	#339	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	#339	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#339	D₄	1	4	yes	—
101	#339	D₄	1	4	yes	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	1	no	—
105	C₂×#41	—	2	1	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
111	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
112	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	4	2	no	—
154	#117	—	4	2	no	—
155	#117	—	4	2	no	—
156	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	#117	#41	1	4	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	#107	—	2	4	no	—
191	#107	—	2	4	no	—
192	#106	—	2	4	no	—
193	#106	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
195	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
196	#104	—	2	8	no	—
197	#104	—	2	8	no	—
198	#104	—	2	16	no	—
199	#101	—	2	4	no	—
200	#100	—	2	4	no	—
201	#97	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	—	4	4	no	—
203	#95	—	4	1	no	—
204	#95	—	4	1	no	—
205	#95	—	4	2	no	—
206	#95	—	4	2	no	—
207	#95	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	1	no	—
209	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	2	4	no	—
212	#41	—	2	4	no	—
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	2	no	—
216	#41	—	4	2	no	—
217	#41	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	#117	1	2	yes	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	1	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	#117	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	M₁₆	—	4	2	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	4	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	4	4	no	—
314	C₄²	—	4	2	no	—
315	C₄²	—	4	1	no	—
316	C₄²	—	4	2	no	—
317	C₄²	—	4	1	no	—
318	C₄²	—	4	1	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	1	no	—
321	C₄²	—	8	4	no	—
322	C₄²	—	8	4	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	4	1	no	—
326	C₂³	—	4	1	no	—
327	C₂³	—	4	1	no	—
328	C₂³	—	8	1	no	—
329	C₂³	—	8	1	no	—
330	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
331	C₂³	#539	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	#539	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#546	1	2	yes	—
334	C₂³	#553	1	2	yes	—
335	Q₈	—	2	4	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	D₄	—	2	4	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	D₄	—	4	4	no	—
340	D₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	1	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	1	no	—
373	C₂×C₄	—	8	1	no	—
374	C₂×C₄	—	16	2	no	—
375	C₂×C₄	—	16	2	no	—
376	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#539	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#539	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
394	C₈	—	4	4	no	—
395	C₈	—	4	4	no	—
396	C₈	—	4	4	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	2	1	no	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	1	no	—
401	C₂²	—	4	1	no	—
402	C₂²	—	4	2	no	—
403	C₂²	—	4	1	no	—
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	1	no	—
407	C₂²	—	8	1	no	—
408	C₂²	—	16	1	no	—
409	C₂²	#2313	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2358	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2374	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#2460	1	2	yes	—
413	C₂²	#2466	1	2	yes	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	4	4	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	8	1	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	—	8	1	no	—
423	C₄	—	8	1	no	—
424	C₄	#2290	1	2	yes	—
425	C₄	#2362	1	2	yes	—
426	C₄	#2455	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#2463	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2517	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2523	1	1	yes	characteristic
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	2	2	no	—
432	C₂	—	2	2	no	—
433	C₂	—	2	1	no	—
434	C₂	—	8	2	no	—
435	C₂	#14143	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#22898	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#22899	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2358
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21042	C₂	semidirect
7. #10895	C₂	semidirect
8. #10894	C₂	semidirect
9. #10808	C₂	semidirect
22. #1857	C₄	semidirect
23. #1857	C₄	semidirect
24. #1856	C₄	semidirect
25. #1856	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21042	2
#20855	2
#20405	2
#11165	2
#11056	2
#11053	2
#10895	2
#10894	2
#10808	2