Subgroups — #375009

Order 512.

1538 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1808	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#14130	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11219	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10881	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10730	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#385	—	2	2	no	—
15	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1808	C₄	1	8	yes	complemented
18	#1752	—	2	4	no	—
19	C₂×#340	—	2	4	no	—
20	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	#1444	—	2	2	no	—
27	#1442	—	2	2	no	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
30	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
33	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#107	—	4	4	no	—
51	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×#97	—	2	4	no	—
56	C₂×#97	—	4	4	no	—
57	#389	—	2	8	no	—
58	#389	—	4	4	no	—
59	#385	—	4	8	no	—
60	#380	—	2	4	no	—
61	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×#95	—	2	2	no	—
65	C₂×#95	—	2	4	no	—
66	C₂×#95	—	2	4	no	—
67	C₂×#95	—	2	4	no	—
68	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
70	#340	—	2	4	no	—
71	#340	—	2	4	no	—
72	#340	—	2	8	no	—
73	#340	—	4	4	no	—
74	#340	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
75	#336	—	2	4	no	—
76	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
104	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
105	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	#107	—	4	8	no	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
145	#97	—	4	8	no	—
146	#95	—	2	8	no	—
147	#95	—	2	2	no	—
148	#95	—	2	2	no	—
149	#95	—	4	8	no	—
150	#95	—	4	8	no	—
151	#95	—	8	4	no	—
152	C₂⁴	—	2	4	no	—
153	C₂⁴	—	2	2	no	—
154	C₂⁴	—	2	2	no	—
155	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
156	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
157	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₂⁴	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
159	C₂⁴	#137	1	4	yes	—
160	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	4	16	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
228	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₄²	—	4	2	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	4	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	#389	1	4	yes	—
256	C₂³	#441	1	4	yes	—
257	C₂³	#442	1	4	yes	—
258	C₂³	#468	1	8	yes	—
259	C₂³	#501	1	8	yes	—
260	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	#546	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
266	C₂³	#576	1	2	yes	—
267	C₂³	#578	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	8	32	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	2	4	no	—
317	C₈	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	16	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	#1943	1	8	yes	—
326	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2364	1	2	yes	—
328	C₂²	#2534	1	2	yes	—
329	C₂²	#2549	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×#441	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2951	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂×#468	1	2	yes	—
334	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3059	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#501	1	2	yes	—
337	C₂²	#3164	1	2	yes	—
338	C₂²	#3308	1	4	yes	—
339	C₂²	#3312	1	4	yes	—
340	C₂²	#3314	1	4	yes	—
341	C₂²	#3318	1	4	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	8	8	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₄	—	8	8	no	—
346	C₄	—	8	2	no	—
347	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2368	1	2	yes	—
350	C₄	#2569	1	2	yes	—
351	C₄	#2579	1	2	yes	—
352	C₂	—	2	8	no	—
353	C₂	#14149	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂×#1943	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#21156	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#23132	1	2	yes	—
357	C₂	#23133	1	2	yes	—
358	C₂	#28104	1	2	yes	—
359	C₂	#28105	1	2	yes	—
360	C₂	#28775	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11219	C₂	semidirect
6. #10881	C₂	semidirect
17. #1808	C₄	semidirect
51. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
74. #340	C₂×C₄	semidirect
105. C₂²×C₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1808	2
C₂×#1752	2
C₂²×#340	2
#14130	2
#11219	2
#10881	2
#10730	2