Subgroups — #375014

Order 512.

1198 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20836	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂²×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11221	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10883	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10732	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	#2280	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1851	—	2	4	no	—
17	#1850	—	2	4	no	—
18	#1808	C₄	1	2	yes	complemented
19	#1808	C₄	1	2	yes	complemented
20	#1807	C₄	1	2	yes	complemented
21	#1807	C₄	1	2	yes	complemented
22	#1752	—	2	4	no	—
23	C₂×#341	—	2	4	no	—
24	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
26	#1735	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	#1729	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	#427	—	4	4	no	—
53	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#424	—	2	8	no	—
56	#424	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×#97	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	—	4	4	no	—
64	#381	—	2	2	no	—
65	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#379	—	2	2	no	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
72	C₂×#95	—	2	1	no	—
73	#341	—	2	4	no	—
74	#341	—	2	4	no	—
75	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#339	—	2	8	no	—
78	#339	—	4	4	no	—
79	#336	—	2	8	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
105	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
149	#107	—	4	4	no	—
150	#106	—	4	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
154	#97	—	4	8	no	—
155	#95	—	2	4	no	—
156	#95	—	2	4	no	—
157	#95	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	—	4	2	no	—
161	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
164	C₂⁴	#125	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
204	M₁₆	—	2	8	no	—
205	M₁₆	—	2	8	no	—
206	M₁₆	—	4	16	no	—
207	M₁₆	—	4	4	no	—
208	M₁₆	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₈	—	4	4	no	—
222	C₂×C₈	—	4	4	no	—
223	C₂×C₈	—	4	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	16	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
241	C₄²	—	2	8	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₄²	—	4	2	no	—
244	C₄²	—	4	4	no	—
245	C₄²	—	4	4	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	16	no	—
260	C₂³	#389	1	2	yes	—
261	C₂³	#389	1	2	yes	—
262	C₂³	#444	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	#553	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	8	8	no	—
288	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#543	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	—	2	2	no	—
307	C₈	—	4	4	no	—
308	C₈	—	4	8	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	8	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	—	2	1	no	—
313	C₂²	—	2	1	no	—
314	C₂²	—	2	1	no	—
315	C₂²	—	2	1	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	4	8	no	—
321	C₂²	—	4	8	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	#1946	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2364	1	2	yes	—
326	C₂²	#2569	1	2	yes	—
327	C₂²	#2579	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
329	C₂²	#2957	1	2	yes	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	8	4	no	—
333	C₄	—	8	8	no	—
334	C₄	#2296	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2315	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2368	1	2	yes	—
337	C₄	#2534	1	2	yes	—
338	C₄	#2549	1	2	yes	—
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	2	2	no	—
341	C₂	—	2	4	no	—
342	C₂	—	4	2	no	—
343	C₂	#14149	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#1946	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#21163	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#23147	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₂²⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11221	C₂	semidirect
6. #10883	C₂	semidirect
18. #1808	C₄	semidirect
19. #1808	C₄	semidirect
20. #1807	C₄	semidirect
21. #1807	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20836	2
#20658	2
C₂×#1752	2
C₂²×#341	2
#11221	2
#10883	2
#10732	2