Subgroups — #375100

Order 512.

1158 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1941	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14150	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11219	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10861	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10850	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1941	—	2	8	no	—
21	#1846	C₄	1	8	yes	complemented
22	C₄×#106	—	2	4	no	—
23	C₈×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
24	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#1444	—	2	2	no	—
29	#1442	—	2	2	no	—
30	#1436	—	2	4	no	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#107	—	4	2	no	—
44	C₂×#107	—	4	2	no	—
45	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×#106	—	2	4	no	—
47	C₂×#106	—	2	2	no	—
48	C₂×#106	—	2	2	no	—
49	C₂×#106	—	2	4	no	—
50	C₂×#106	—	2	2	no	—
51	C₂×#106	—	2	2	no	—
52	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×#106	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
64	#389	—	2	8	no	—
65	#389	—	4	4	no	—
66	#382	—	2	4	no	—
67	#382	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₂×#95	—	2	2	no	—
73	C₂×#95	—	2	2	no	—
74	C₂×#95	—	2	4	no	—
75	C₂×#95	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
79	#340	—	2	4	no	—
80	#340	—	2	8	no	—
81	#340	—	4	4	no	—
82	#336	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
148	#107	—	4	8	no	—
149	#106	—	2	16	no	—
150	#106	—	2	8	no	—
151	#106	—	2	8	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
153	C₄×C₈	—	4	8	no	—
154	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
155	#95	—	2	8	no	—
156	#95	—	2	8	no	—
157	#95	—	2	4	no	—
158	#95	—	4	8	no	—
159	#95	—	4	4	no	—
160	#95	—	4	8	no	—
161	#95	—	8	4	no	—
162	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	4	2	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
228	C₂×C₈	#125	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
244	C₄²	—	4	2	no	—
245	C₄²	—	4	2	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	8	8	no	—
249	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
251	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
252	C₄²	#125	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
261	C₂³	#577	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
322	C₈	—	2	4	no	—
323	C₈	—	4	4	no	—
324	C₈	#389	1	8	yes	—
325	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2365	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#2538	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2551	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2552	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₄×#135	1	2	yes	—
333	C₂²	#2952	1	2	yes	—
334	C₂²	#3050	1	2	yes	—
335	C₂²	#3057	1	2	yes	—
336	C₂²	#3160	1	2	yes	—
337	C₂²	#3163	1	2	yes	—
338	C₂²	#3282	1	4	yes	—
339	C₂²	#3337	1	4	yes	—
340	C₂²	#3381	1	4	yes	—
341	C₂²	#3394	1	4	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	4	8	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	—	8	4	no	—
347	C₄	—	8	8	no	—
348	C₄	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2316	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#2369	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#2538	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2552	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2571	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2582	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#14151	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#21151	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#21155	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#23159	1	2	yes	—
360	C₂	#23183	1	2	yes	—
361	C₂	#28224	1	2	yes	—
362	C₂	#28266	1	2	yes	—
363	C₂	#28810	1	2	yes	—
364	C₂	#28831	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
21. #1846	C₄	semidirect
154. C₄×C₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1941	2
C₂×#1846	2
C₂×C₄×#106	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#14150	2
#11219	2
#10861	2
#10850	2