Subgroups — #375105

Order 512.

1126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1944	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14150	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11219	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10863	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10850	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1944	—	2	8	no	—
21	#1846	C₄	1	8	yes	complemented
22	C₄×#107	—	2	4	no	—
23	#1770	—	2	4	no	—
24	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	#1444	—	2	2	no	—
29	#1442	—	2	2	no	—
30	#1436	—	2	4	no	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#107	—	2	2	no	—
45	C₂×#107	—	2	2	no	—
46	C₂×#107	—	2	2	no	—
47	C₂×#107	—	2	2	no	—
48	C₂×#107	—	4	2	no	—
49	C₂×#107	—	4	2	no	—
50	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×#107	Q₈	1	4	yes	—
53	C₂×#106	—	2	4	no	—
54	C₂×#106	—	2	4	no	—
55	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
59	C₂×#97	—	2	4	no	—
60	C₂×#97	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
65	#389	—	2	8	no	—
66	#389	—	4	4	no	—
67	#382	—	2	4	no	—
68	#382	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₂×#95	—	2	2	no	—
74	C₂×#95	—	2	2	no	—
75	C₂×#95	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	4	no	—
79	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
80	#340	—	2	4	no	—
81	#340	—	2	8	no	—
82	#340	—	4	4	no	—
83	#336	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	8	4	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
152	#107	—	2	8	no	—
153	#107	—	2	8	no	—
154	#107	—	4	8	no	—
155	#106	—	2	16	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
157	#97	—	4	8	no	—
158	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
159	#95	—	2	8	no	—
160	#95	—	2	8	no	—
161	#95	—	2	4	no	—
162	#95	—	4	8	no	—
163	#95	—	4	8	no	—
164	#95	—	4	4	no	—
165	#95	—	8	4	no	—
166	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	#125	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	—	4	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	8	8	no	—
259	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
260	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
261	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₄²	#125	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#575	1	2	yes	—
271	C₂³	#575	1	2	yes	—
272	C₂³	#576	1	2	yes	—
273	C₂³	#578	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#544	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₈	#389	1	8	yes	—
342	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2365	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2538	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2551	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2552	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2943	1	2	yes	—
350	C₂²	#2951	1	2	yes	—
351	C₂²	#3054	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3054	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3059	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3162	1	2	yes	—
356	C₂²	#3164	1	2	yes	—
357	C₂²	#3273	1	2	yes	—
358	C₂²	#3277	1	2	yes	—
359	C₂²	#3352	1	2	yes	—
360	C₂²	#3355	1	2	yes	—
361	C₂²	#3389	1	2	yes	—
362	C₂²	#3390	1	2	yes	—
363	C₂²	#3402	1	2	yes	—
364	C₂²	#3403	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	—	8	4	no	—
371	C₄	—	8	8	no	—
372	C₄	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2316	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2365	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2369	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2538	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2552	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#2571	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2582	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#14151	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#21154	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#21156	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#23165	1	2	yes	—
384	C₂	#23191	1	2	yes	—
385	C₂	#28233	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#28234	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#28269	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#28271	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#28818	1	2	yes	—
390	C₂	#28833	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
21. #1846	C₄	semidirect
158. C₄×C₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1944	2
C₂×#1846	2
C₂×C₄×#107	2
C₂×#1770	2
#14150	2
#11219	2
#10863	2
#10850	2