Subgroups — #375169

Order 512.

2200 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 442 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1896	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₄×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11011	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10933	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#525	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	#2857	C₄	1	2	yes	complemented
16	#2856	C₄	1	2	yes	complemented
17	#2854	—	2	2	no	—
18	#2850	C₄	1	4	yes	complemented
19	#2847	—	2	2	no	—
20	C₄×#121	—	2	2	no	—
21	C₄×#121	—	2	2	no	—
22	#2297	C₂²	1	2	yes	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#95	—	2	2	no	—
25	#1896	—	2	16	no	—
26	#1749	—	2	2	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
28	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
29	#1728	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#95	—	2	2	no	—
31	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
35	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
38	#532	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
42	#525	—	2	8	no	—
43	#525	—	2	8	no	—
44	C₂×#123	—	2	2	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#120	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
56	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
58	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#104	—	2	16	no	—
68	C₂×#104	—	2	16	no	—
69	C₂×#104	—	4	8	no	—
70	#407	—	2	4	no	—
71	#407	D₄	1	8	yes	complemented
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	#391	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	#390	—	2	2	no	—
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	#389	—	2	2	no	—
81	#389	—	2	2	no	—
82	#388	—	2	4	no	—
83	#388	—	2	4	no	—
84	#386	—	2	4	no	—
85	#386	—	2	4	no	—
86	#386	—	2	4	no	—
87	#384	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
88	#382	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
89	#380	—	2	2	no	—
90	#380	—	2	2	no	—
91	#380	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×#95	—	2	16	no	—
96	C₂×#95	—	2	4	no	—
97	C₂×#95	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	16	no	—
99	#336	—	2	4	no	—
100	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	8	no	—
104	C₂×#41	—	2	8	no	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
140	#127	—	4	2	no	—
141	#124	—	4	4	no	—
142	#123	—	4	4	no	—
143	#123	—	4	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
145	#121	—	2	16	no	—
146	#121	—	4	8	no	—
147	#121	—	4	8	no	—
148	#121	—	4	8	no	—
149	#120	—	4	4	no	—
150	#120	—	4	4	no	—
151	C₄×D₄	—	4	8	no	—
152	C₄×D₄	—	4	16	no	—
153	#117	—	2	4	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	32	no	—
178	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
192	#104	—	4	32	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
194	#97	—	4	4	no	—
195	C₄×C₈	—	4	4	no	—
196	#95	—	2	16	no	—
197	#95	—	2	16	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	2	2	no	—
202	C₂⁴	—	2	2	no	—
203	C₂⁴	—	2	4	no	—
204	C₂⁴	—	2	4	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
208	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
209	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	#41	—	4	8	no	—
211	#41	—	4	8	no	—
212	#41	—	4	16	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	8	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	#104	1	8	yes	complemented
271	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
277	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
278	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
286	M₁₆	—	2	16	no	—
287	M₁₆	—	4	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	8	no	—
289	C₂×C₈	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
303	C₄²	—	2	4	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	2	16	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	—	4	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	2	no	—
314	C₄²	—	4	16	no	—
315	C₄²	—	4	4	no	—
316	C₄²	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	2	8	no	—
318	C₂³	—	2	16	no	—
319	C₂³	—	2	8	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	4	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	2	no	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	8	no	—
327	C₂³	—	2	8	no	—
328	C₂³	—	2	4	no	—
329	C₂³	—	2	2	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	4	no	—
332	C₂³	—	4	4	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	4	2	no	—
335	C₂³	#390	1	4	yes	—
336	C₂³	C₂×#104	1	4	yes	—
337	C₂³	#421	1	4	yes	—
338	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#525	1	2	yes	—
340	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#534	1	2	yes	—
343	Q₈	—	4	8	no	—
344	D₄	—	4	8	no	—
345	D₄	—	8	8	no	—
346	D₄	—	8	4	no	—
347	D₄	—	8	16	no	—
348	D₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	16	no	—
358	C₂×C₄	—	2	16	no	—
359	C₂×C₄	—	2	16	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	64	no	—
372	C₂×C₄	—	4	16	no	—
373	C₂×C₄	—	4	16	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	8	no	—
376	C₂×C₄	—	4	8	no	—
377	C₂×C₄	—	4	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	8	no	—
384	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
387	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#546	1	8	yes	—
394	C₂×C₄	#553	1	8	yes	—
395	C₈	—	4	8	no	—
396	C₂²	—	2	16	no	—
397	C₂²	—	2	16	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	4	no	—
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	2	4	no	—
403	C₂²	—	2	4	no	—
404	C₂²	—	2	4	no	—
405	C₂²	—	2	2	no	—
406	C₂²	—	2	4	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	2	4	no	—
409	C₂²	—	8	4	no	—
410	C₂²	—	8	4	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	—	8	2	no	—
413	C₂²	—	8	2	no	—
414	C₂²	#1980	1	8	yes	—
415	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#2539	1	2	yes	—
419	C₂²	#2591	1	2	yes	—
420	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
421	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
422	C₄	—	2	4	no	—
423	C₄	—	2	4	no	—
424	C₄	—	2	4	no	—
425	C₄	—	4	16	no	—
426	C₄	—	4	2	no	—
427	C₄	—	4	2	no	—
428	C₄	—	8	4	no	—
429	C₄	—	8	2	no	—
430	C₄	#2364	1	4	yes	—
431	C₄	#2543	1	4	yes	—
432	C₂	—	2	2	no	—
433	C₂	—	2	2	no	—
434	C₂	—	2	8	no	—
435	C₂	—	16	2	no	—
436	C₂	#14152	1	1	yes	characteristic
437	C₂	C₂×#1980	1	2	yes	—
438	C₂	#21415	1	1	yes	characteristic
439	C₂	#21417	1	1	yes	characteristic
440	C₂	#21773	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#36624	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1896	C₂	semidirect
3. C₄×#407	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#95	C₂	semidirect
5. #11359	C₂	semidirect
6. #11011	C₂	semidirect
7. #10933	C₂	semidirect
15. #2857	C₄	semidirect
16. #2856	C₄	semidirect
18. #2850	C₄	semidirect
39. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
40. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
41. C₂×#124	C₂×C₄	semidirect
71. #407	D₄	semidirect
76. #391	C₂×C₄	semidirect
79. #390	C₂×C₄	semidirect
87. #384	C₂×C₄	semidirect
88. #382	C₂×C₄	semidirect
270. C₂²×C₄	#104	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36624	2
C₂×#1896	2
C₄×#407	2
C₂×C₄×#95	2
#11359	2
#11011	2
#10933	2