Subgroups — #375203

Order 512.

1563 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35677	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1888	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20399	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11348	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11006	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10959	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10948	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#536	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#535	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
18	#2873	C₂²	1	2	yes	—
19	#2548	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2545	C₄	1	4	yes	complemented
21	#2426	—	2	4	no	—
22	#2411	—	2	4	no	—
23	#2309	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1912	—	2	8	no	—
27	#1888	—	2	8	no	—
28	C₄×#101	—	2	4	no	—
29	#1742	C₂²	1	2	yes	—
30	#1740	—	2	4	no	—
31	#1740	C₂²	1	2	yes	—
32	#1740	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	#536	—	2	4	no	—
40	#536	—	2	4	no	—
41	#535	—	4	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×#124	—	2	2	no	—
45	C₂×#124	—	2	4	no	—
46	C₂×#124	—	2	4	no	—
47	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#123	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#120	—	2	2	no	—
54	#519	—	2	8	no	—
55	#519	—	2	4	no	—
56	#519	—	2	4	no	—
57	#519	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
59	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×#117	—	2	4	no	—
62	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#421	—	2	8	no	—
70	#421	—	2	8	no	—
71	C₂×#104	—	4	4	no	—
72	#418	—	2	8	no	—
73	#418	—	2	8	no	—
74	C₂×#102	—	4	4	no	—
75	C₂×#101	—	2	4	no	—
76	C₂×#101	—	2	4	no	—
77	C₂×#101	D₄	1	8	yes	complemented
78	#405	—	4	4	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
80	#396	—	2	8	no	—
81	#394	—	2	8	no	—
82	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#390	—	2	8	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#389	—	2	2	no	—
88	#388	—	2	8	no	—
89	#386	—	2	2	no	—
90	#385	—	2	2	no	—
91	#379	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
94	#343	—	2	4	no	—
95	#342	—	2	4	no	—
96	#342	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	8	no	—
98	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
99	C₂⁵	—	2	1	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×Q₈	#41	1	4	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
132	#127	—	4	4	no	—
133	#124	—	2	16	no	—
134	#124	—	2	8	no	—
135	#124	—	4	4	no	—
136	#124	—	4	8	no	—
137	#123	—	4	4	no	—
138	#123	—	4	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
140	#121	—	4	8	no	—
141	#120	—	4	8	no	—
142	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
144	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
145	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	16	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	2	4	no	—
154	#117	—	4	8	no	—
155	#117	—	4	8	no	—
156	#117	#41	1	8	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
181	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	#104	—	4	16	no	—
187	#102	—	4	16	no	—
188	#101	—	2	16	no	—
189	#97	—	4	4	no	—
190	C₄×C₈	—	4	4	no	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	#95	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	—	2	1	no	—
195	C₂⁴	—	4	1	no	—
196	C₂⁴	—	4	1	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	—	8	4	no	—
200	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
217	C₂×Q₈	#121	1	8	yes	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	1	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
260	M₁₆	—	2	8	no	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	—	4	16	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	1	no	—
301	C₂³	—	4	1	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	1	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	—	16	4	no	—
310	C₂³	—	16	4	no	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	#525	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#534	1	2	yes	—
316	Q₈	—	2	16	no	—
317	Q₈	—	2	16	no	—
318	Q₈	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	4	4	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	4	no	—
324	D₄	—	16	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	8	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	8	8	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
357	C₈	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	8	1	no	—
370	C₂²	—	8	2	no	—
371	C₂²	—	16	4	no	—
372	C₂²	—	16	4	no	—
373	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2539	1	2	yes	—
377	C₂²	#2591	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	8	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	2	no	—
383	C₄	—	8	8	no	—
384	C₄	—	8	1	no	—
385	C₄	#2364	1	4	yes	—
386	C₄	#2543	1	4	yes	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	2	1	no	—
390	C₂	—	2	2	no	—
391	C₂	—	16	1	no	—
392	C₂	—	16	2	no	—
393	C₂	#14152	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#21785	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2308
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#535	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1912	C₂	semidirect
3. C₂×#1888	C₂	semidirect
4. #20399	C₂	semidirect
5. #20355	C₂	semidirect
6. #11348	C₂	semidirect
8. #10959	C₂	semidirect
9. #10948	C₂	semidirect
19. #2548	C₄	semidirect
20. #2545	C₄	semidirect
77. C₂×#101	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35677	2
C₂×#1912	2
C₂×#1888	2
#20399	2
#20355	2
#11348	2
#11006	2
#10959	2
#10948	2