Subgroups — #375220

Order 512.

1974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1987	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1982	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11049	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10927	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#124	—	2	2	no	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	#2858	—	2	4	no	—
15	#2858	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#390	—	2	2	no	—
17	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1987	—	2	8	no	—
24	#1982	—	2	8	no	—
25	#1767	—	2	4	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
31	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
32	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#127	—	2	4	no	—
40	C₂×#127	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	—	2	4	no	—
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×#124	—	2	16	no	—
44	C₂×#124	—	4	16	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
60	C₂×#102	—	2	16	no	—
61	C₂×#102	—	2	16	no	—
62	C₂×#102	—	4	8	no	—
63	C₂×#97	—	2	4	no	—
64	C₂×#97	—	4	4	no	—
65	#390	—	2	16	no	—
66	#390	—	2	4	no	—
67	#390	—	2	4	no	—
68	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	#384	—	2	8	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
74	C₂×#95	—	2	2	no	—
75	C₂×#95	—	2	4	no	—
76	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₄³	D₄	1	4	yes	—
78	#340	—	2	16	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	C₂⁵	—	2	2	no	—
81	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
83	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
84	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
115	#127	—	2	16	no	—
116	#127	—	4	8	no	—
117	#124	—	4	64	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
156	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
157	#102	—	4	32	no	—
158	#97	—	4	8	no	—
159	#95	—	4	8	no	—
160	#95	—	4	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	4	4	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	8	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	8	no	—
175	C₂×D₄	—	2	8	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	4	16	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	8	no	—
184	C₂×D₄	—	4	8	no	—
185	C₂×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	8	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	16	no	—
189	C₂×D₄	—	8	8	no	—
190	C₂×D₄	—	8	8	no	—
191	C₂×D₄	—	8	8	no	—
192	C₂×D₄	—	8	4	no	—
193	C₂×D₄	—	8	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	16	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	16	no	—
250	C₄²	—	2	16	no	—
251	C₄²	—	8	8	no	—
252	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
253	C₄²	#121	1	8	yes	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	8	no	—
256	C₂³	—	4	8	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	8	4	no	—
260	C₂³	—	8	8	no	—
261	C₂³	—	8	8	no	—
262	C₂³	—	8	4	no	—
263	C₂³	—	8	4	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	8	no	—
268	C₂³	—	8	8	no	—
269	C₂³	—	8	4	no	—
270	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	#525	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	#537	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
277	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
278	Q₈	—	8	16	no	—
279	D₄	—	4	16	no	—
280	D₄	—	8	16	no	—
281	D₄	—	8	16	no	—
282	D₄	—	8	4	no	—
283	D₄	—	8	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	16	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	#489	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#556	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
323	C₈	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	8	no	—
326	C₂²	—	8	8	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	—	8	4	no	—
329	C₂²	—	16	8	no	—
330	C₂²	—	16	4	no	—
331	C₂²	—	16	4	no	—
332	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2311	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2540	1	2	yes	—
336	C₂²	#2592	1	2	yes	—
337	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
339	C₂²	#3109	1	4	yes	—
340	C₂²	#3112	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂×#489	1	2	yes	—
342	C₂²	#3138	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3151	1	2	yes	—
346	C₂²	#3253	1	4	yes	—
347	C₂²	#3254	1	4	yes	—
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	—	8	8	no	—
353	C₄	#1959	1	8	yes	—
354	C₄	#2367	1	4	yes	—
355	C₄	#2544	1	2	yes	—
356	C₄	#2545	1	2	yes	—
357	C₂	—	16	4	no	—
358	C₂	#14153	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×#1959	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#21203	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#21395	1	2	yes	—
362	C₂	#21893	1	2	yes	—
363	C₂	#28381	1	2	yes	—
364	C₂	#28386	1	2	yes	—
365	C₂	#29354	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1987	C₂	semidirect
4. C₂×#1767	C₂	semidirect
5. C₄×#384	C₂	semidirect
6. #11049	C₂	semidirect
7. #10927	C₂	semidirect
15. #2858	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2858	2
C₂×#1987	2
C₂×#1982	2
C₂×#1767	2
C₄×#384	2
#11049	2
#10927	2