Subgroups — #375269

Order 512.

1236 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 458 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21332	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21212	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11126	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#10944	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3135	—	2	4	no	—
13	#3135	—	2	4	no	—
14	C₂×#491	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#490	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#489	C₄	1	4	yes	complemented
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1996	—	2	4	no	—
29	#1995	—	2	2	no	—
30	#1994	—	2	2	no	—
31	#1964	—	2	4	no	—
32	#1963	—	2	2	no	—
33	#1962	—	2	2	no	—
34	#1776	—	2	4	no	—
35	#1771	—	2	4	no	—
36	#1740	C₂²	1	4	yes	—
37	#1735	C₂²	1	2	yes	—
38	#1733	C₂²	1	4	yes	—
39	#1729	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#533	—	2	2	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	1	no	—
48	#533	—	2	1	no	—
49	#533	—	2	1	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	1	no	—
53	#532	—	2	1	no	—
54	#532	—	2	1	no	—
55	#532	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂×#121	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#491	—	2	8	no	—
71	#490	—	2	8	no	—
72	#489	—	2	8	no	—
73	#489	—	2	8	no	—
74	#427	—	2	4	no	—
75	#427	—	2	4	no	—
76	C₂×#107	—	2	2	no	—
77	C₂×#106	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	2	no	—
79	#423	D₄	1	2	yes	—
80	#423	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
82	#421	—	2	8	no	—
83	#421	—	4	4	no	—
84	C₂×#104	—	2	8	no	—
85	#416	—	2	4	no	—
86	#416	—	2	4	no	—
87	#416	—	2	4	no	—
88	#416	—	2	4	no	—
89	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
92	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	#410	—	2	8	no	—
94	#410	—	4	4	no	—
95	C₂×#99	—	2	8	no	—
96	#405	—	4	4	no	—
97	C₂×#97	—	2	2	no	—
98	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
101	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	#384	—	2	1	no	—
104	#382	—	2	1	no	—
105	#380	D₄	1	4	yes	—
106	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
108	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
111	#376	—	2	1	no	—
112	#376	—	2	1	no	—
113	C₄³	—	2	1	no	—
114	C₄³	—	2	1	no	—
115	#342	—	2	8	no	—
116	#340	—	2	4	no	—
117	#339	—	2	8	no	—
118	#336	—	2	4	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	2	4	no	—
126	C₂×#41	—	2	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
157	#127	—	2	2	no	—
158	#127	—	2	1	no	—
159	#127	—	2	1	no	—
160	#125	—	2	4	no	—
161	#125	—	2	2	no	—
162	#125	—	2	2	no	—
163	#124	—	2	4	no	—
164	#124	—	2	2	no	—
165	#124	—	2	2	no	—
166	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
170	#121	—	4	2	no	—
171	#121	—	4	2	no	—
172	#121	—	4	2	no	—
173	#121	—	4	2	no	—
174	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
177	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
178	C₄×D₄	—	4	2	no	—
179	C₄×D₄	—	4	2	no	—
180	C₄×D₄	—	4	2	no	—
181	C₄×D₄	—	4	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	—	2	2	no	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	—	2	2	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	—	2	2	no	—
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	#41	1	4	yes	—
195	#117	#41	1	4	yes	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
224	#107	—	2	8	no	—
225	#106	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
228	#104	—	4	16	no	—
229	#103	—	2	8	no	—
230	#103	—	2	8	no	—
231	#102	—	2	8	no	—
232	#102	—	2	8	no	—
233	#99	—	4	16	no	—
234	#97	—	4	4	no	—
235	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
236	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
237	C₄×C₈	—	4	4	no	—
238	#95	—	2	4	no	—
239	#95	—	4	2	no	—
240	#95	—	4	2	no	—
241	C₂⁴	—	2	2	no	—
242	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	#41	—	4	4	no	—
244	#41	—	4	2	no	—
245	#41	—	4	2	no	—
246	#41	—	4	2	no	—
247	#41	—	4	2	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	4	4	no	—
250	#41	—	4	4	no	—
251	#41	—	4	4	no	—
252	#41	—	4	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂×D₄	—	2	2	no	—
262	C₂×D₄	—	2	4	no	—
263	C₂×D₄	—	2	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	2	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂×D₄	—	4	4	no	—
267	C₂×D₄	—	4	4	no	—
268	C₂×D₄	—	4	2	no	—
269	C₂×D₄	—	4	2	no	—
270	C₂×D₄	—	8	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
297	M₁₆	—	2	8	no	—
298	M₁₆	—	4	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	2	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	2	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	—	4	2	no	—
311	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
312	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
320	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
336	C₄²	—	2	4	no	—
337	C₄²	—	2	4	no	—
338	C₄²	—	4	2	no	—
339	C₄²	—	4	2	no	—
340	C₄²	—	4	2	no	—
341	C₄²	—	4	2	no	—
342	C₄²	—	4	2	no	—
343	C₄²	—	4	2	no	—
344	C₄²	—	8	4	no	—
345	C₄²	—	8	4	no	—
346	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
347	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
348	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₄²	#121	1	2	yes	—
353	C₄²	#121	1	2	yes	—
354	C₄²	#124	1	2	yes	—
355	C₄²	#124	1	2	yes	—
356	C₂³	—	4	2	no	—
357	C₂³	—	4	2	no	—
358	C₂³	—	4	4	no	—
359	C₂³	—	8	4	no	—
360	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
362	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	#546	1	2	yes	—
364	C₂³	#548	1	2	yes	—
365	Q₈	—	4	2	no	—
366	Q₈	—	4	4	no	—
367	Q₈	—	4	2	no	—
368	Q₈	—	8	4	no	—
369	Q₈	—	8	4	no	—
370	D₄	—	4	2	no	—
371	D₄	—	4	4	no	—
372	D₄	—	4	2	no	—
373	D₄	—	8	4	no	—
374	D₄	—	8	4	no	—
375	D₄	—	8	4	no	—
376	D₄	—	8	2	no	—
377	D₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	4	2	no	—
379	C₂×C₄	—	4	2	no	—
380	C₂×C₄	—	4	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	8	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	4	4	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	4	no	—
390	C₂×C₄	—	4	2	no	—
391	C₂×C₄	—	8	4	no	—
392	C₂×C₄	—	8	4	no	—
393	C₂×C₄	—	8	4	no	—
394	C₂×C₄	—	8	2	no	—
395	C₂×C₄	—	8	2	no	—
396	C₂×C₄	—	8	4	no	—
397	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
404	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
405	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
409	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
410	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
411	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
412	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
413	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
415	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
417	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
418	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
419	C₈	—	2	4	no	—
420	C₈	—	2	4	no	—
421	C₈	—	4	4	no	—
422	C₂²	—	2	2	no	—
423	C₂²	—	2	2	no	—
424	C₂²	—	2	2	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	4	2	no	—
427	C₂²	—	8	2	no	—
428	C₂²	—	8	4	no	—
429	C₂²	—	16	4	no	—
430	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#2367	1	2	yes	—
432	C₂²	#2540	1	2	yes	—
433	C₂²	#2544	1	1	yes	characteristic
434	C₂²	#2545	1	1	yes	characteristic
435	C₄	—	2	2	no	—
436	C₄	—	2	2	no	—
437	C₄	—	2	2	no	—
438	C₄	—	2	2	no	—
439	C₄	—	8	4	no	—
440	C₄	—	8	4	no	—
441	C₄	—	8	4	no	—
442	C₄	—	8	2	no	—
443	C₄	—	8	4	no	—
444	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
445	C₄	#2311	1	1	yes	characteristic
446	C₄	#2367	1	2	yes	—
447	C₄	#2544	1	1	yes	characteristic
448	C₄	#2545	1	1	yes	characteristic
449	C₄	#2592	1	2	yes	—
450	C₂	—	2	2	no	—
451	C₂	—	2	1	no	—
452	C₂	—	2	2	no	—
453	C₂	—	2	1	no	—
454	C₂	—	16	2	no	—
455	C₂	#14153	1	1	yes	characteristic
456	C₂	#21244	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#390
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21332	C₂	semidirect
3. #21329	C₂	semidirect
6. #20451	C₂	semidirect
7. #20438	C₂	semidirect
8. #11126	C₂	semidirect
9. #10944	C₂	semidirect
14. C₂×#491	C₄	semidirect
15. C₂×#490	C₄	semidirect
16. C₂×#489	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3135	2
#21332	2
#21329	2
#21212	2
#21209	2
#20451	2
#20438	2
#11126	2
#10944	2