Subgroups — #375275

Order 512.

2398 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1955	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1954	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10964	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	16	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#127	—	2	4	no	—
17	C₄×#127	—	2	4	no	—
18	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1955	—	2	16	no	—
24	#1954	—	2	16	no	—
25	#1767	—	2	4	no	—
26	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×#127	—	2	8	no	—
36	C₂×#127	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	4	8	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
70	C₂×#97	—	2	8	no	—
71	C₂×#97	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
74	#390	—	2	8	no	—
75	#390	—	2	8	no	—
76	#390	—	2	8	no	—
77	#384	—	2	4	no	—
78	C₄³	D₄	1	4	yes	—
79	C₄³	D₄	1	4	yes	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
95	C₂²×D₄	M₁₆	1	8	yes	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	#127	—	2	32	no	—
122	C₄×D₄	—	4	16	no	—
123	C₄×D₄	—	4	16	no	—
124	C₄×D₄	—	4	16	no	—
125	C₄×D₄	—	4	16	no	—
126	C₄×D₄	—	4	8	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	8	no	—
129	C₄×D₄	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
161	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	64	no	—
164	#97	—	4	8	no	—
165	C₄×C₈	—	4	8	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	8	no	—
168	C₂⁴	—	2	8	no	—
169	C₂⁴	—	2	8	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	—	2	8	no	—
172	C₂⁴	—	2	8	no	—
173	C₂⁴	—	2	8	no	—
174	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
175	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×D₄	—	2	16	no	—
177	C₂×D₄	—	2	16	no	—
178	C₂×D₄	—	2	16	no	—
179	C₂×D₄	—	2	32	no	—
180	C₂×D₄	—	4	32	no	—
181	C₂×D₄	—	4	32	no	—
182	C₂×D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	8	no	—
184	C₂×D₄	—	4	8	no	—
185	C₂×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	8	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	16	no	—
239	C₂×C₈	—	2	16	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	8	no	—
257	C₄²	—	4	4	no	—
258	C₄²	#121	1	8	yes	—
259	C₄²	#121	1	8	yes	—
260	C₄²	#124	1	4	yes	—
261	C₄²	#124	1	4	yes	—
262	C₄²	#127	1	4	yes	—
263	C₄²	#127	1	4	yes	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	16	no	—
266	C₂³	—	2	16	no	—
267	C₂³	—	2	16	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	4	16	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	16	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	16	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₂³	#518	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
288	C₂³	#568	1	2	yes	—
289	D₄	—	4	32	no	—
290	D₄	—	4	32	no	—
291	D₄	—	4	32	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#435	1	16	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
336	C₈	—	4	8	no	—
337	C₈	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	32	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	16	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2366	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#435	1	4	yes	—
356	C₂²	#2931	1	4	yes	—
357	C₂²	D₄×M₁₆	1	4	yes	—
358	C₂²	#2935	1	4	yes	—
359	C₂²	#2974	1	4	yes	—
360	C₂²	#2981	1	4	yes	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	#1955	1	8	yes	complemented
368	C₄	#2541	1	2	yes	—
369	C₄	#2541	1	2	yes	—
370	C₄	#2548	1	2	yes	—
371	C₄	#2548	1	2	yes	—
372	C₂	—	8	8	no	—
373	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#1955	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#21187	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#21189	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#21788	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#21789	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#23174	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#127	C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1955	C₂	semidirect
3. C₂×#1954	C₂	semidirect
4. C₂×#1767	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
6. #10964	C₂	semidirect
65. C₂×C₄⋊C₈	D₄	semidirect
66. C₂×C₄⋊C₈	D₄	semidirect
367. C₄	#1955	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
C₂×#1955	2
C₂×#1954	2
C₂×#1767	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
#10964	2