Subgroups — #375293

Order 512.

2382 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1982	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1970	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#14154	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11022	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#493	—	2	4	no	—
12	C₂×#493	—	2	4	no	—
13	C₂×#493	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#390	—	2	4	no	—
20	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1982	—	2	8	no	—
24	#1970	—	2	16	no	—
25	C₄×#107	—	2	4	no	—
26	C₈×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
27	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	#1438	—	2	4	no	—
30	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
31	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
39	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
40	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
41	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	—	2	4	no	—
47	C₂×#127	—	2	4	no	—
48	C₂×#127	—	2	4	no	—
49	C₂×#127	—	2	4	no	—
50	C₂×#127	—	2	4	no	—
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#493	—	2	32	no	—
59	C₂×#107	—	2	4	no	—
60	C₂×#107	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	D₄	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×#102	—	2	16	no	—
66	C₂×#102	—	2	16	no	—
67	C₂×#102	—	4	8	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
73	#390	—	2	16	no	—
74	#390	—	4	8	no	—
75	#390	—	4	16	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
82	#340	—	2	4	no	—
83	#336	—	2	4	no	—
84	C₂⁵	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
103	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂×D₈	—	2	16	no	—
110	C₂×D₈	—	2	16	no	—
111	C₂×D₈	—	2	32	no	—
112	C₂×D₈	—	4	16	no	—
113	C₂×D₈	—	4	8	no	—
114	C₂×D₈	—	4	8	no	—
115	C₂×D₈	—	4	16	no	—
116	C₂×D₈	—	4	16	no	—
117	C₂×D₈	—	4	8	no	—
118	C₂×D₈	—	4	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
134	#127	—	2	16	no	—
135	#127	—	2	16	no	—
136	#127	—	4	8	no	—
137	#127	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	8	yes	complemented
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	#107	—	2	16	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
164	#102	—	4	32	no	—
165	C₄×C₈	—	4	8	no	—
166	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
167	#95	—	2	4	no	—
168	#95	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	—	2	8	no	—
170	C₂⁴	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	—	4	4	no	—
172	C₂⁴	—	4	8	no	—
173	C₂⁴	—	4	8	no	—
174	C₂⁴	—	4	8	no	—
175	C₂⁴	—	4	8	no	—
176	C₂⁴	—	4	16	no	—
177	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₄	—	2	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	16	no	—
181	C₂×D₄	—	2	16	no	—
182	C₂×D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	16	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	32	no	—
199	C₂×D₄	—	8	16	no	—
200	C₂×D₄	—	8	16	no	—
201	C₂×D₄	—	8	16	no	—
202	C₂×D₄	—	8	16	no	—
203	C₂×D₄	—	8	8	no	—
204	C₂×D₄	—	8	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
234	D₈	—	4	32	no	—
235	D₈	—	4	32	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
248	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
249	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
251	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	64	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	—	8	8	no	—
261	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₄²	#121	1	4	yes	—
264	C₄²	#124	1	4	yes	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	16	no	—
267	C₂³	—	4	16	no	—
268	C₂³	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	8	16	no	—
270	C₂³	—	8	16	no	—
271	C₂³	—	8	4	no	—
272	C₂³	—	8	4	no	—
273	C₂³	—	8	8	no	—
274	C₂³	—	8	16	no	—
275	C₂³	—	8	16	no	—
276	C₂³	—	8	8	no	—
277	C₂³	—	8	8	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	8	no	—
280	C₂³	—	8	4	no	—
281	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
285	C₂³	#550	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
288	C₂³	#576	1	4	yes	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	16	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	8	32	no	—
293	D₄	—	8	32	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	—	8	8	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	16	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	8	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₄×D₈	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	#466	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	#493	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#495	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	—	4	4	no	—
336	C₈	#390	1	8	yes	complemented
337	C₂²	—	8	8	no	—
338	C₂²	—	8	32	no	—
339	C₂²	—	8	8	no	—
340	C₂²	—	8	8	no	—
341	C₂²	—	16	8	no	—
342	C₂²	—	16	8	no	—
343	C₂²	—	16	8	no	—
344	C₂²	—	16	8	no	—
345	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2366	1	2	yes	—
347	C₂²	#2541	1	2	yes	—
348	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
351	C₂²	#2948	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#466	1	2	yes	—
353	C₂²	#3058	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#3155	1	2	yes	—
357	C₂²	D₄×D₈	1	4	yes	—
358	C₂²	#3287	1	4	yes	—
359	C₂²	#3391	1	4	yes	—
360	C₂²	#3396	1	4	yes	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	4	8	no	—
363	C₄	—	8	8	no	—
364	C₄	#1970	1	8	yes	complemented
365	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2366	1	2	yes	—
368	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2548	1	2	yes	—
371	C₂	—	16	8	no	—
372	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂×#1970	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#21233	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#23185	1	4	yes	—
376	C₂	#28458	1	2	yes	—
377	C₂	#28463	1	2	yes	—
378	C₂	#28485	1	2	yes	—
379	C₂	#28736	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1982	C₂	semidirect
3. C₂×#1970	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#107	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
6. #14154	C₂	semidirect
7. #11022	C₂	semidirect
13. C₂×#493	C₄	semidirect
61. C₂×#107	D₄	semidirect
145. C₂×C₄⋊C₄	D₈	semidirect
166. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
336. C₈	#390	semidirect
364. C₄	#1970	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂×#1982	2
C₂×#1970	2
C₂×C₄×#107	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#14154	2
#11022	2