Subgroups — #375301

Order 512.

1712 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1975	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#21189	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1770	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11025	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3147	—	2	4	no	—
12	#3147	—	2	4	no	—
13	C₂×#495	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×#495	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#494	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#492	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#408	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1980	—	2	8	no	—
27	#1975	—	2	16	no	—
28	#1955	—	2	4	no	—
29	#1954	—	2	4	no	—
30	C₄×#108	—	2	4	no	—
31	#1770	—	2	4	no	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	—	2	8	no	—
40	C₂×#135	—	2	8	no	—
41	C₂×#135	—	4	4	no	—
42	C₂×#135	—	4	4	no	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#532	—	2	4	no	—
54	#532	—	2	4	no	—
55	#532	—	2	4	no	—
56	#532	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	C₂×#121	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#495	—	2	8	no	—
68	#495	—	2	8	no	—
69	#494	—	2	4	no	—
70	#493	—	2	4	no	—
71	#492	—	2	8	no	—
72	C₂×#108	—	2	4	no	—
73	C₂×#108	—	2	4	no	—
74	C₂×#108	D₄	1	8	yes	complemented
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×#104	—	2	16	no	—
80	C₂×#104	—	2	16	no	—
81	C₂×#104	—	4	8	no	—
82	#408	—	2	16	no	—
83	#408	—	4	8	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
85	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×#97	—	2	8	no	—
88	C₂×#97	—	2	4	no	—
89	C₂×#97	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
99	C₂×#95	—	2	1	no	—
100	#341	—	2	4	no	—
101	#336	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	8	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	8	no	—
108	C₂×#41	—	2	8	no	—
109	C₂×#41	—	2	8	no	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#135	—	4	8	no	—
121	#135	—	4	16	no	—
122	#135	—	4	8	no	—
123	#135	—	4	16	no	—
124	#135	—	4	8	no	—
125	#135	—	4	8	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×D₈	—	2	4	no	—
135	C₂×D₈	—	2	4	no	—
136	C₂×D₈	—	2	8	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
164	#127	—	2	4	no	—
165	#127	—	2	4	no	—
166	#124	—	2	8	no	—
167	#124	—	2	8	no	—
168	#121	—	4	4	no	—
169	#121	—	4	4	no	—
170	#121	—	4	4	no	—
171	#121	—	4	4	no	—
172	C₄×D₄	—	4	4	no	—
173	C₄×D₄	—	4	4	no	—
174	C₄×D₄	—	4	4	no	—
175	C₄×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	#108	—	2	16	no	—
195	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
197	#104	—	4	32	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
199	#97	—	4	8	no	—
200	#97	—	4	4	no	—
201	C₄×C₈	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	#95	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	4	8	no	—
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	#41	—	4	8	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	#41	—	4	8	no	—
216	#41	—	4	8	no	—
217	#41	—	4	8	no	—
218	#41	—	4	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	2	8	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	8	no	—
230	C₂×D₄	—	4	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×D₄	—	8	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
264	Q₁₆	—	4	8	no	—
265	Q₁₆	—	4	8	no	—
266	SD₁₆	—	4	16	no	—
267	SD₁₆	—	4	16	no	—
268	D₈	—	4	8	no	—
269	D₈	—	4	8	no	—
270	M₁₆	—	2	8	no	—
271	M₁₆	—	2	8	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	8	no	—
281	C₂×C₈	—	2	8	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
293	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
294	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
295	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄²	—	2	8	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	2	no	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
307	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	#121	1	2	yes	—
309	C₄²	#121	1	2	yes	—
310	C₄²	#127	1	2	yes	—
311	C₄²	#127	1	2	yes	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	#550	1	2	yes	—
322	C₂³	#559	1	2	yes	—
323	Q₈	—	4	4	no	—
324	Q₈	—	4	8	no	—
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	8	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	8	8	no	—
330	D₄	—	8	4	no	—
331	D₄	—	8	8	no	—
332	D₄	—	8	4	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	8	no	—
347	C₂×C₄	—	8	4	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	4	4	no	—
376	C₈	—	4	8	no	—
377	C₈	#390	1	4	yes	—
378	C₈	#390	1	4	yes	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	16	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2366	1	2	yes	—
391	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2548	1	2	yes	—
393	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
395	C₂²	#2957	1	2	yes	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	2	2	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	8	4	no	—
400	C₄	—	8	4	no	—
401	C₄	#1975	1	4	yes	complemented
402	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2366	1	2	yes	—
405	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#2541	1	2	yes	—
407	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
408	C₂	—	2	1	no	—
409	C₂	—	2	2	no	—
410	C₂	—	2	1	no	—
411	C₂	—	16	4	no	—
412	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
413	C₂	C₂×#1975	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#21240	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#23180	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1980	C₂	semidirect
3. C₂×#1975	C₂	semidirect
4. #21189	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
6. C₂×#1770	C₂	semidirect
7. #11025	C₂	semidirect
13. C₂×#495	C₄	semidirect
14. C₂×#495	C₄	semidirect
15. C₂×#494	C₄	semidirect
16. C₂×#493	C₄	semidirect
17. C₂×#492	C₄	semidirect
74. C₂×#108	D₄	semidirect
401. C₄	#1975	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
C₂×#1980	2
C₂×#1975	2
#21189	2
C₂×C₄×#108	2
C₂×#1770	2
#11025	2