Subgroups — #375304

Order 512.

1666 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#21212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21209	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11026	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3150	—	2	4	no	—
12	#3150	—	2	4	no	—
13	C₂×#497	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#496	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#421	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#410	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
23	#1976	—	2	16	no	—
24	#1964	—	2	8	no	—
25	#1963	—	2	4	no	—
26	#1962	—	2	4	no	—
27	#1776	—	2	4	no	—
28	#1771	—	2	4	no	—
29	#1735	C₂²	1	2	yes	—
30	#1729	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×#135	—	2	4	no	—
33	C₂×#135	—	2	4	no	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	8	no	—
37	C₂×#135	—	2	8	no	—
38	C₂×#135	—	4	4	no	—
39	C₂×#135	—	4	4	no	—
40	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#532	—	2	4	no	—
50	#532	—	2	4	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	2	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#121	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#497	—	2	16	no	—
64	#496	—	2	16	no	—
65	#427	—	2	4	no	—
66	#427	D₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×#107	—	2	2	no	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	#421	—	2	16	no	—
73	#421	—	4	8	no	—
74	C₂×#104	—	2	16	no	—
75	#410	—	2	16	no	—
76	#410	—	4	8	no	—
77	C₂×#99	—	2	16	no	—
78	#405	—	2	8	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	#384	—	2	1	no	—
85	#382	—	2	1	no	—
86	#380	D₄	1	4	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	#376	—	2	2	no	—
91	C₄³	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	8	no	—
100	C₂×#41	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	#135	—	4	8	no	—
110	#135	—	4	8	no	—
111	#135	—	4	16	no	—
112	#135	—	4	8	no	—
113	#135	—	4	8	no	—
114	#135	—	4	8	no	—
115	#135	—	4	8	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×D₈	—	2	4	no	—
125	C₂×D₈	—	2	4	no	—
126	C₂×D₈	—	2	8	no	—
127	C₂×D₈	—	4	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
143	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	#127	—	2	4	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#124	—	2	8	no	—
150	#124	—	2	4	no	—
151	#124	—	2	4	no	—
152	#121	—	4	4	no	—
153	#121	—	4	4	no	—
154	#121	—	4	4	no	—
155	#121	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	—	2	4	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	#107	—	2	8	no	—
184	#106	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
186	#104	—	4	32	no	—
187	#99	—	4	32	no	—
188	#97	—	4	4	no	—
189	#97	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
190	C₄×C₈	—	4	4	no	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	#95	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	4	8	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	#41	—	4	4	no	—
198	#41	—	4	4	no	—
199	#41	—	4	4	no	—
200	#41	—	4	8	no	—
201	#41	—	4	8	no	—
202	#41	—	4	8	no	—
203	#41	—	4	8	no	—
204	#41	—	4	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
228	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
242	Q₁₆	—	4	8	no	—
243	Q₁₆	—	4	8	no	—
244	SD₁₆	—	4	16	no	—
245	SD₁₆	—	4	16	no	—
246	D₈	—	4	8	no	—
247	D₈	—	4	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
260	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₄²	—	2	8	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	4	no	—
279	C₄²	—	8	8	no	—
280	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	#121	1	4	yes	—
284	C₄²	#124	1	2	yes	—
285	C₄²	#124	1	2	yes	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	8	no	—
289	C₂³	—	8	8	no	—
290	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
294	C₂³	#550	1	2	yes	—
295	Q₈	—	4	4	no	—
296	Q₈	—	4	8	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	4	no	—
301	D₄	—	8	8	no	—
302	D₄	—	8	8	no	—
303	D₄	—	8	8	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	4	no	—
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₈	#390	1	8	yes	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	16	8	no	—
350	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2366	1	2	yes	—
352	C₂²	#2541	1	2	yes	—
353	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	8	4	no	—
358	C₄	—	8	8	no	—
359	C₄	—	8	4	no	—
360	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#2366	1	2	yes	—
363	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2548	1	2	yes	—
365	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	1	no	—
367	C₂	—	2	2	no	—
368	C₂	—	2	2	no	—
369	C₂	—	2	1	no	—
370	C₂	—	16	4	no	—
371	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#21244	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#390
prime radical	C₂×#3150	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1976	C₂	semidirect
3. #21212	C₂	semidirect
4. #21209	C₂	semidirect
5. #20451	C₂	semidirect
6. #20438	C₂	semidirect
7. #11026	C₂	semidirect
13. C₂×#497	C₄	semidirect
14. C₂×#496	C₄	semidirect
66. #427	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3150	2
C₂×#1976	2
#21212	2
#21209	2
#20451	2
#20438	2
#11026	2