Subgroups — #375307

Order 512.

1694 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 410 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1977	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1967	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11029	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11027	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#495	—	2	2	no	—
14	C₂×#495	—	2	2	no	—
15	C₂×#495	—	2	4	no	—
16	C₂×#495	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1977	—	2	16	no	—
28	#1967	—	2	8	no	—
29	#1959	—	2	4	no	—
30	#1958	—	2	4	no	—
31	C₄×#108	—	2	4	no	—
32	#1770	—	2	2	no	—
33	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
34	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
35	#1729	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
47	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
52	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
53	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#124	—	2	4	no	—
59	C₂×#124	—	2	4	no	—
60	C₂×#124	—	2	4	no	—
61	C₂×#124	—	2	2	no	—
62	C₂×#124	—	2	2	no	—
63	C₂×#124	—	2	4	no	—
64	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#495	—	2	16	no	—
69	#495	—	2	16	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	C₂×#108	—	2	4	no	—
72	C₂×#108	D₄	1	8	yes	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	#419	—	2	8	no	—
77	#419	—	4	4	no	—
78	#418	—	2	8	no	—
79	#418	—	4	4	no	—
80	C₂×#103	—	2	8	no	—
81	C₂×#102	—	2	8	no	—
82	C₂×#101	—	2	8	no	—
83	C₂×#101	—	2	8	no	—
84	C₂×#101	—	4	4	no	—
85	C₂×#100	—	2	8	no	—
86	C₂×#100	—	2	8	no	—
87	C₂×#100	—	4	4	no	—
88	#405	—	2	8	no	—
89	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	—	2	2	no	—
92	C₂×#97	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
99	#384	D₄	1	2	yes	—
100	#382	D₄	1	2	yes	—
101	#380	—	2	2	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	#341	—	2	4	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	C₂⁵	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
129	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×D₈	—	2	8	no	—
143	C₂×D₈	—	4	8	no	—
144	C₂×D₈	—	4	4	no	—
145	C₂×D₈	—	4	8	no	—
146	C₂×D₈	—	4	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
170	#124	—	2	16	no	—
171	#124	—	2	8	no	—
172	#124	—	2	8	no	—
173	#124	—	4	8	no	—
174	#124	—	4	4	no	—
175	#124	—	4	4	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
193	#108	—	2	16	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
195	#103	—	4	16	no	—
196	#102	—	4	16	no	—
197	#101	—	4	16	no	—
198	#100	—	4	16	no	—
199	#97	—	4	4	no	—
200	#97	—	4	4	no	—
201	C₄×C₈	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	—	4	4	no	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
204	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	4	2	no	—
208	C₂⁴	—	4	2	no	—
209	C₂⁴	—	4	4	no	—
210	C₂⁴	—	4	4	no	—
211	C₂⁴	—	8	8	no	—
212	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	4	no	—
244	C₂×D₄	—	4	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	4	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	Q₁₆	—	4	16	no	—
271	SD₁₆	—	4	16	no	—
272	SD₁₆	—	4	16	no	—
273	D₈	—	4	16	no	—
274	M₁₆	—	2	8	no	—
275	M₁₆	—	2	8	no	—
276	M₁₆	—	2	8	no	—
277	M₁₆	—	4	4	no	—
278	M₁₆	—	4	4	no	—
279	M₁₆	—	4	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	8	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
294	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
295	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	#121	1	4	yes	—
310	C₄²	#127	1	2	yes	—
311	C₄²	#127	1	2	yes	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	8	8	no	—
316	C₂³	—	8	8	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	4	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	8	no	—
321	C₂³	—	16	8	no	—
322	C₂³	—	16	8	no	—
323	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	#550	1	2	yes	—
327	C₂³	#559	1	2	yes	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	4	8	no	—
330	Q₈	—	4	4	no	—
331	Q₈	—	8	2	no	—
332	Q₈	—	8	4	no	—
333	Q₈	—	8	2	no	—
334	D₄	—	4	4	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	8	4	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	D₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
371	C₈	—	2	4	no	—
372	C₈	—	4	4	no	—
373	C₈	—	4	8	no	—
374	C₈	#390	1	4	yes	—
375	C₈	#390	1	4	yes	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	4	no	—
380	C₂²	—	8	8	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	16	8	no	—
383	C₂²	—	16	8	no	—
384	C₂²	—	16	4	no	—
385	C₂²	—	16	4	no	—
386	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2366	1	2	yes	—
388	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2548	1	2	yes	—
390	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3067	1	4	yes	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	4	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#2366	1	2	yes	—
399	C₄	#2541	1	2	yes	—
400	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	2	2	no	—
404	C₂	—	16	4	no	—
405	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#21248	1	2	yes	—
407	C₂	#28495	1	2	yes	—
408	C₂	#28765	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1977	C₂	semidirect
3. C₂×#1967	C₂	semidirect
4. #21204	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
6. #20437	C₂	semidirect
7. #11029	C₂	semidirect
16. C₂×#495	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#495	2
C₂×#1977	2
C₂×#1967	2
#21204	2
C₂×C₄×#108	2
#20437	2
#11029	2
#11027	2