Subgroups — #375309

Order 512.

1974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1978	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1965	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11027	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#493	—	2	2	no	—
12	C₂×#493	—	2	2	no	—
13	C₂×#493	—	2	4	no	—
14	C₂×#493	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#418	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1978	—	2	16	no	—
24	#1965	—	2	8	no	—
25	#1961	—	2	4	no	—
26	#1957	—	2	4	no	—
27	C₄×#108	—	2	4	no	—
28	#1770	—	2	2	no	—
29	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1729	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
41	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
42	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
43	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#127	—	2	4	no	—
50	C₂×#127	—	2	4	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	—	2	2	no	—
53	C₂×#127	—	2	4	no	—
54	C₂×#127	—	2	4	no	—
55	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#493	—	2	16	no	—
59	#493	—	2	16	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	D₄	1	8	yes	complemented
63	#423	—	2	2	no	—
64	#423	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	#418	—	2	16	no	—
67	#418	—	4	8	no	—
68	C₂×#102	—	2	16	no	—
69	C₂×#100	—	2	16	no	—
70	C₂×#100	—	2	16	no	—
71	C₂×#100	—	4	8	no	—
72	#405	—	2	8	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
75	C₂×#97	—	2	2	no	—
76	C₂×#97	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
83	#384	D₄	1	2	yes	—
84	#382	D₄	1	2	yes	—
85	#380	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	#341	—	2	4	no	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	C₂⁵	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×D₈	—	2	16	no	—
108	C₂×D₈	—	2	8	no	—
109	C₂×D₈	—	2	8	no	—
110	C₂×D₈	—	2	32	no	—
111	C₂×D₈	—	4	16	no	—
112	C₂×D₈	—	4	8	no	—
113	C₂×D₈	—	4	16	no	—
114	C₂×D₈	—	4	8	no	—
115	C₂×D₈	—	4	16	no	—
116	C₂×D₈	—	4	4	no	—
117	C₂×D₈	—	4	4	no	—
118	C₂×D₈	—	4	4	no	—
119	C₂×D₈	—	4	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
143	#127	—	2	16	no	—
144	#127	—	2	8	no	—
145	#127	—	2	8	no	—
146	#127	—	4	8	no	—
147	#127	—	4	4	no	—
148	#127	—	4	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	#108	—	2	16	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
164	#102	—	4	32	no	—
165	#100	—	4	32	no	—
166	#97	—	4	4	no	—
167	#97	—	4	4	no	—
168	C₄×C₈	—	4	4	no	—
169	C₄×C₈	—	4	4	no	—
170	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	#95	—	2	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	8	no	—
174	C₂⁴	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	8	no	—
177	C₂⁴	—	4	8	no	—
178	C₂⁴	—	8	16	no	—
179	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	16	no	—
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	4	8	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	8	no	—
198	C₂×D₄	—	4	16	no	—
199	C₂×D₄	—	4	16	no	—
200	C₂×D₄	—	8	16	no	—
201	C₂×D₄	—	8	32	no	—
202	C₂×D₄	—	8	32	no	—
203	C₂×D₄	—	8	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
220	D₈	—	4	32	no	—
221	D₈	—	4	16	no	—
222	D₈	—	4	16	no	—
223	M₁₆	—	2	8	no	—
224	M₁₆	—	2	8	no	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	M₁₆	—	4	4	no	—
227	M₁₆	—	4	4	no	—
228	M₁₆	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
243	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄²	—	4	2	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₄²	#121	1	4	yes	—
257	C₄²	#127	1	2	yes	—
258	C₄²	#127	1	2	yes	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	16	no	—
262	C₂³	—	8	16	no	—
263	C₂³	—	8	16	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	—	8	8	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	16	no	—
268	C₂³	—	16	16	no	—
269	C₂³	—	16	16	no	—
270	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	#550	1	2	yes	—
274	C₂³	#559	1	2	yes	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	16	no	—
277	D₄	—	4	8	no	—
278	D₄	—	8	32	no	—
279	D₄	—	8	32	no	—
280	D₄	—	8	8	no	—
281	D₄	—	8	4	no	—
282	D₄	—	8	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#472	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₈	—	4	4	no	—
311	C₈	—	4	8	no	—
312	C₈	#390	1	4	yes	—
313	C₈	#390	1	4	yes	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	8	8	no	—
319	C₂²	—	8	16	no	—
320	C₂²	—	16	16	no	—
321	C₂²	—	16	16	no	—
322	C₂²	—	16	8	no	—
323	C₂²	—	16	8	no	—
324	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2366	1	2	yes	—
326	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2548	1	2	yes	—
328	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#472	1	4	yes	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	8	4	no	—
332	C₄	#1978	1	8	yes	complemented
333	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2366	1	2	yes	—
336	C₄	#2541	1	2	yes	—
337	C₄	#2541	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
339	C₂	—	2	2	no	—
340	C₂	—	2	2	no	—
341	C₂	—	16	8	no	—
342	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#1978	1	2	yes	—
344	C₂	#28497	1	2	yes	—
345	C₂	#28763	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1978	C₂	semidirect
3. C₂×#1965	C₂	semidirect
4. #21203	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
6. #20437	C₂	semidirect
7. #11027	C₂	semidirect
14. C₂×#493	C₄	semidirect
62. C₂×#108	D₄	semidirect
332. C₄	#1978	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂×#1978	2
C₂×#1965	2
#21203	2
C₂×C₄×#108	2
#20437	2
#11027	2