Subgroups — #375320

Order 512.

2118 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1982	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1981	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1959	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1767	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11009	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#124	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#103	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
16	#2858	—	2	4	no	—
17	#2858	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#390	—	2	2	no	—
19	C₂×#390	—	2	2	no	—
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1982	—	2	8	no	—
25	#1981	—	2	8	no	—
26	#1959	—	2	16	no	—
27	#1767	—	2	4	no	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
30	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
33	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
34	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂×#127	—	2	4	no	—
41	C₂×#127	—	2	2	no	—
42	C₂×#127	—	2	4	no	—
43	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#124	—	2	4	no	—
45	C₂×#124	—	2	4	no	—
46	C₂×#124	—	2	8	no	—
47	C₂×#124	—	2	8	no	—
48	C₂×#124	—	4	8	no	—
49	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
66	C₂×#103	—	2	16	no	—
67	C₂×#103	—	2	16	no	—
68	C₂×#103	—	4	8	no	—
69	C₂×#102	—	2	16	no	—
70	C₂×#102	—	2	16	no	—
71	C₂×#102	—	4	8	no	—
72	C₂×#97	—	2	8	no	—
73	C₂×#97	—	2	4	no	—
74	#390	—	2	16	no	—
75	#390	—	2	16	no	—
76	#384	—	2	4	no	—
77	#384	D₄	1	8	yes	complemented
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₂×#95	—	2	4	no	—
83	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₄³	D₄	1	4	yes	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	C₂⁵	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
124	#127	—	2	16	no	—
125	#127	—	4	8	no	—
126	#124	—	2	32	no	—
127	#124	—	4	16	no	—
128	#124	—	4	16	no	—
129	#124	—	4	8	no	—
130	#124	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
169	#103	—	4	32	no	—
170	#102	—	4	32	no	—
171	#97	—	4	8	no	—
172	#95	—	4	8	no	—
173	#95	—	4	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	2	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	—	4	4	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	8	no	—
182	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	8	no	—
196	C₂×D₄	—	2	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	16	no	—
209	C₂×D₄	—	8	8	no	—
210	C₂×D₄	—	8	8	no	—
211	C₂×D₄	—	8	8	no	—
212	C₂×D₄	—	8	4	no	—
213	C₂×D₄	—	8	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	16	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	16	no	—
267	C₄²	—	4	8	no	—
268	C₄²	—	8	8	no	—
269	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
270	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
271	C₄²	#121	1	8	yes	—
272	C₄²	#124	1	4	yes	—
273	C₄²	#127	1	4	yes	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	4	no	—
281	C₂³	—	8	2	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	4	no	—
284	C₂³	—	8	8	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	—	8	8	no	—
287	C₂³	—	8	8	no	—
288	C₂³	—	8	4	no	—
289	C₂³	—	8	4	no	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	#535	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
297	C₂³	#575	1	4	yes	—
298	Q₈	—	4	16	no	—
299	Q₈	—	8	4	no	—
300	Q₈	—	8	4	no	—
301	D₄	—	4	16	no	—
302	D₄	—	8	16	no	—
303	D₄	—	8	16	no	—
304	D₄	—	8	4	no	—
305	D₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	#489	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#497	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
346	C₈	—	4	8	no	—
347	C₂²	—	8	8	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	8	4	no	—
350	C₂²	—	8	4	no	—
351	C₂²	—	8	4	no	—
352	C₂²	—	16	4	no	—
353	C₂²	—	16	4	no	—
354	C₂²	—	16	8	no	—
355	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2541	1	2	yes	—
359	C₂²	#2548	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
361	C₂²	#2896	1	2	yes	—
362	C₂²	#3036	1	4	yes	—
363	C₂²	#3037	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂×#489	1	2	yes	—
365	C₂²	#3140	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#3153	1	2	yes	—
369	C₂²	#3214	1	4	yes	—
370	C₂²	#3216	1	4	yes	—
371	C₄	—	2	8	no	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	—	8	8	no	—
375	C₄	—	8	4	no	—
376	C₄	#1959	1	8	yes	complemented
377	C₄	#2366	1	4	yes	—
378	C₄	#2541	1	2	yes	—
379	C₄	#2548	1	2	yes	—
380	C₂	—	16	4	no	—
381	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#1959	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#21204	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#21258	1	2	yes	—
385	C₂	#21809	1	2	yes	—
386	C₂	#28450	1	2	yes	—
387	C₂	#28451	1	2	yes	—
388	C₂	#28754	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1981	C₂	semidirect
4. C₂×#1959	C₂	semidirect
5. C₂×#1767	C₂	semidirect
6. C₄×#384	C₂	semidirect
7. #11009	C₂	semidirect
17. #2858	C₄	semidirect
77. #384	D₄	semidirect
376. C₄	#1959	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2858	2
C₂×#1982	2
C₂×#1981	2
C₂×#1959	2
C₂×#1767	2
C₄×#384	2
#11009	2