Subgroups — #375322

Order 512.

2110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1980	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11011	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#104	C₂²	1	16	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	#2867	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	#2858	C₄	1	2	yes	complemented
16	#2858	C₄	1	2	yes	complemented
17	#2858	C₄	1	2	yes	complemented
18	#2856	—	2	2	no	—
19	#2856	—	2	2	no	—
20	C₄×#127	—	2	2	no	—
21	C₄×#127	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1980	—	2	16	no	—
27	#1962	—	2	16	no	—
28	#1767	—	2	2	no	—
29	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
30	#1728	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#95	—	2	2	no	—
32	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	#532	—	2	8	no	—
36	#532	—	2	8	no	—
37	#532	—	2	8	no	—
38	#532	—	2	8	no	—
39	#532	—	4	8	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#127	—	2	2	no	—
44	C₂×#127	—	2	2	no	—
45	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#121	—	2	4	no	—
52	C₂×#121	—	2	2	no	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#423	—	2	4	no	—
68	#423	D₄	1	8	yes	complemented
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×#104	—	2	32	no	—
71	C₂×#104	—	2	32	no	—
72	C₂×#104	—	4	16	no	—
73	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#390	—	2	4	no	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	—	2	4	no	—
80	#390	—	2	4	no	—
81	#390	—	2	4	no	—
82	#384	—	2	2	no	—
83	#384	—	2	2	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	—	2	4	no	—
89	C₄³	—	2	8	no	—
90	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄³	D₄	1	2	yes	—
95	C₄³	D₄	1	2	yes	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	8	no	—
99	C₂×#41	—	2	8	no	—
100	C₂×#41	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	—	2	16	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
124	#127	—	2	8	no	—
125	#127	—	2	8	no	—
126	#127	—	4	4	no	—
127	#127	—	4	8	no	—
128	#127	—	4	8	no	—
129	#124	—	2	16	no	—
130	#124	—	2	16	no	—
131	#124	—	4	8	no	—
132	#121	—	4	16	no	—
133	#121	—	4	8	no	—
134	#121	—	4	8	no	—
135	#121	—	4	8	no	—
136	#121	—	4	8	no	—
137	C₄×D₄	—	4	16	no	—
138	C₄×D₄	—	4	16	no	—
139	C₄×D₄	—	4	4	no	—
140	C₄×D₄	—	4	4	no	—
141	C₄×D₄	—	4	4	no	—
142	C₄×D₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
185	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
186	#104	—	4	64	no	—
187	#97	—	4	4	no	—
188	C₄×C₈	—	4	4	no	—
189	#95	—	2	16	no	—
190	#95	—	2	8	no	—
191	C₂⁴	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	4	16	no	—
194	#41	—	4	16	no	—
195	#41	—	4	16	no	—
196	#41	—	4	16	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
253	M₁₆	—	2	16	no	—
254	M₁₆	—	4	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	16	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	—	4	2	no	—
278	C₄²	—	4	32	no	—
279	C₄²	—	4	8	no	—
280	C₄²	#104	1	8	yes	complemented
281	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
282	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
283	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
284	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
285	C₄²	#121	1	8	yes	—
286	C₄²	#124	1	2	yes	—
287	C₄²	#124	1	2	yes	—
288	C₄²	#127	1	2	yes	—
289	C₄²	#127	1	2	yes	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	8	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	#535	1	2	yes	—
302	Q₈	—	4	16	no	—
303	D₄	—	4	16	no	—
304	D₄	—	8	16	no	—
305	D₄	—	8	8	no	—
306	D₄	—	8	8	no	—
307	D₄	—	8	8	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	D₄	—	8	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	16	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	16	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	—	8	8	no	—
335	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
354	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
356	C₈	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	8	8	no	—
363	C₂²	—	8	8	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2541	1	2	yes	—
371	C₂²	#2548	1	2	yes	—
372	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	2	2	no	—
378	C₄	—	2	2	no	—
379	C₄	—	4	16	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	8	4	no	—
382	C₄	#1962	1	4	yes	complemented
383	C₄	#1980	1	8	yes	complemented
384	C₄	#2366	1	4	yes	—
385	C₄	#2541	1	2	yes	—
386	C₄	#2548	1	2	yes	—
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	16	4	no	—
390	C₂	#14154	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂×#1962	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#21209	1	1	yes	characteristic
393	C₂	C₂×#1980	1	2	yes	—
394	C₂	#21815	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1980	C₂	semidirect
3. C₂×#1962	C₂	semidirect
4. C₄×#423	C₂	semidirect
5. C₄²×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
6. #11011	C₂	semidirect
13. #2868	C₄	semidirect
14. #2867	C₄	semidirect
15. #2858	C₄	semidirect
16. #2858	C₄	semidirect
17. #2858	C₄	semidirect
68. #423	D₄	semidirect
86. C₄×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
280. C₄²	#104	semidirect
382. C₄	#1962	semidirect
383. C₄	#1980	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
C₂×#1980	2
C₂×#1962	2
C₄×#423	2
C₄²×C₄⋊C₄	2
#11011	2