Subgroups — #375351

Order 512.

1148 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1986	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21302	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11376	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10859	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
9	#3160	—	2	4	no	—
10	#3160	—	2	4	no	—
11	C₂×#500	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂×#499	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×#499	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#498	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1986	—	2	8	no	—
25	#1985	—	2	4	no	—
26	#1984	—	2	4	no	—
27	C₄×#108	—	2	4	no	—
28	C₈×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
29	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
31	#1729	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#533	—	2	4	no	—
38	#533	—	2	4	no	—
39	#533	—	2	4	no	—
40	#533	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#500	—	2	4	no	—
53	#500	—	2	4	no	—
54	#499	—	2	8	no	—
55	#499	—	2	8	no	—
56	#498	—	2	8	no	—
57	C₂×#108	—	2	4	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	Q₈	1	8	yes	complemented
60	#427	—	2	4	no	—
61	#427	—	2	4	no	—
62	#427	—	2	4	no	—
63	#427	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
74	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
75	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂×#97	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×#95	—	2	1	no	—
89	#341	—	2	4	no	—
90	#339	—	2	16	no	—
91	#336	—	2	4	no	—
92	#336	—	2	16	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
122	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	#125	—	2	8	no	—
128	#125	—	2	8	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
133	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
137	#117	—	2	4	no	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
163	#108	—	2	16	no	—
164	#107	—	2	4	no	—
165	#107	—	2	4	no	—
166	#107	—	2	4	no	—
167	#107	—	2	4	no	—
168	#106	—	2	8	no	—
169	#106	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	#97	—	4	4	no	—
173	C₄×C₈	—	4	8	no	—
174	C₄×C₈	—	4	4	no	—
175	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	#95	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
211	M₁₆	—	2	8	no	—
212	M₁₆	—	2	8	no	—
213	M₁₆	—	4	4	no	—
214	M₁₆	—	4	4	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	2	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
235	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	2	no	—
251	C₄²	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	4	2	no	—
253	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
257	C₄²	#121	1	2	yes	—
258	C₄²	#121	1	2	yes	—
259	C₄²	#127	1	2	yes	—
260	C₄²	#127	1	2	yes	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	#556	1	2	yes	—
267	C₂³	#557	1	2	yes	—
268	Q₈	—	8	8	no	—
269	Q₈	—	8	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	16	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	4	8	no	—
311	C₈	—	4	4	no	—
312	C₈	#391	1	4	yes	—
313	C₈	#391	1	4	yes	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	1	no	—
317	C₂²	—	2	1	no	—
318	C₂²	—	2	1	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#2365	1	2	yes	—
322	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#2568	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
326	C₂²	#2957	1	2	yes	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	4	8	no	—
331	C₄	—	8	4	no	—
332	C₄	—	8	4	no	—
333	C₄	#1974	1	4	yes	—
334	C₄	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#2310	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#2365	1	2	yes	—
337	C₄	#2542	1	2	yes	—
338	C₄	#2546	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	#14155	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#1974	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#21240	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#23170	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄⋊C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. C₂×#500	C₄	semidirect
12. C₂×#500	C₄	semidirect
13. C₂×#499	C₄	semidirect
14. C₂×#499	C₄	semidirect
15. C₂×#498	C₄	semidirect
59. C₂×#108	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
C₂×#1986	2
#21302	2
C₂×C₄×#108	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#11376	2
#10859	2