Subgroups — #37546

Order 256.

1287 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 319 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2820	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2819	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2662	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2620	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2411	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#529	—	2	8	no	—
18	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂×#124	—	2	8	no	—
21	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	4	yes	—
46	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	4	yes	—
51	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#390	C₂²	1	4	yes	—
54	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#386	C₂²	1	4	yes	—
57	#385	C₂²	1	4	yes	—
58	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#380	C₂²	1	2	yes	—
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	#379	C₂²	1	4	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#126	—	2	8	no	—
84	#125	—	2	4	no	—
85	#124	—	2	8	no	—
86	#124	—	2	8	no	—
87	#124	—	2	8	no	—
88	#124	—	2	8	no	—
89	#124	—	2	4	no	—
90	#123	—	2	8	no	—
91	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
92	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
93	#121	—	2	4	no	—
94	#121	—	4	8	no	—
95	#120	—	4	8	no	—
96	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₄×D₄	—	2	8	no	—
98	C₄×D₄	—	2	4	no	—
99	#117	—	2	8	no	—
100	#117	—	4	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
128	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#95	C₂³	1	4	yes	—
135	#95	C₂³	1	4	yes	—
136	#95	C₂³	1	8	yes	—
137	#95	C₂³	1	8	yes	—
138	C₂⁴	—	2	4	no	—
139	C₂⁴	—	2	4	no	—
140	C₂⁴	—	2	4	no	—
141	C₂⁴	—	4	4	no	—
142	C₂⁴	—	4	4	no	—
143	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
144	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
150	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
151	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
152	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
153	C₂×D₄	—	2	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	2	no	—
162	C₂×D₄	—	4	16	no	—
163	C₂×D₄	—	4	8	no	—
164	C₂×D₄	—	4	8	no	—
165	C₂×D₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
212	C₄²	—	2	4	no	—
213	C₄²	—	4	4	no	—
214	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
215	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	4	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	8	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	4	no	—
228	C₂³	—	2	8	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	4	8	no	—
231	C₂³	—	4	8	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	8	8	no	—
234	C₂³	—	8	8	no	—
235	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
237	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
238	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
239	Q₈	—	4	4	no	—
240	Q₈	—	4	8	no	—
241	Q₈	—	4	8	no	—
242	D₄	—	4	4	no	—
243	D₄	—	4	8	no	—
244	D₄	—	4	8	no	—
245	D₄	—	4	8	no	—
246	D₄	—	8	16	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	4	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	2	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	8	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	4	8	no	—
292	C₂²	—	8	16	no	—
293	C₂²	#537	1	4	yes	—
294	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	#585	1	2	yes	—
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	2	2	no	—
302	C₄	—	2	2	no	—
303	C₄	—	2	2	no	—
304	C₄	—	4	2	no	—
305	C₄	—	4	4	no	—
306	C₄	—	4	2	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	8	no	—
309	C₄	#535	1	4	yes	—
310	C₂	—	2	4	no	—
311	C₂	—	8	2	no	—
312	C₂	—	8	4	no	—
313	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
314	C₂	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#3558	1	2	yes	—
317	C₂	#3561	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#529	C₂	semidirect
2. C₂²×#124	C₂	semidirect
3. #2820	C₂	semidirect
4. #2819	C₂	semidirect
5. #2662	C₂	semidirect
6. #2626	C₂	semidirect
7. #2620	C₂	semidirect
8. #2617	C₂	semidirect
9. #2592	C₂	semidirect
10. #2540	C₂	semidirect
11. #2411	C₂	semidirect
12. #2409	C₂	semidirect
13. #2408	C₂	semidirect
14. #2285	C₂	semidirect
18. C₂×#126	C₂²	semidirect
19. C₂×#125	C₂²	semidirect
25. C₂×#124	C₂²	semidirect
28. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
36. C₂×#117	C₂²	semidirect
40. #399	C₂²	semidirect
41. #397	C₂²	semidirect
42. #396	C₂²	semidirect
43. #396	C₂²	semidirect
44. #395	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
48. #393	C₂²	semidirect
49. #393	C₂²	semidirect
51. #392	C₂²	semidirect
52. #391	C₂²	semidirect
54. #390	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
58. #384	C₂²	semidirect
59. #382	C₂²	semidirect
63. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
127. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×#124	2
#2820	2
#2819	2
#2662	2
#2626	2
#2620	2
#2617	2
#2592	2
#2540	2
#2411	2
#2409	2
#2408	2
#2285	2