Subgroups — #375469

Order 512.

1670 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11346	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10875	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10715	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
15	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
16	C₂×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#389	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#387	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#385	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#380	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	#1749	—	2	4	no	—
25	#1728	—	2	4	no	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	4	4	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×#97	—	4	4	no	—
69	#391	—	2	4	no	—
70	#389	—	2	4	no	—
71	#387	—	2	8	no	—
72	#385	—	2	8	no	—
73	#380	—	2	4	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#336	—	2	16	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	—	4	8	no	—
90	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
95	C₂²×Q₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
105	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
134	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
176	#97	—	4	8	no	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	#95	—	2	4	no	—
180	#95	—	2	4	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	2	no	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	C₂⁴	—	2	1	no	—
185	C₂⁴	—	2	1	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	2	2	no	—
189	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂⁴	C₄×Q₈	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	M₁₆	—	4	32	no	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	16	no	—
265	C₂×C₈	—	2	16	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	8	no	—
271	C₂×C₈	—	4	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	4	4	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	4	4	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₄²	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	8	no	—
296	C₂³	—	2	8	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	2	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	#391	1	4	yes	—
307	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
309	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
310	C₂³	#518	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	#568	1	2	yes	—
314	C₂³	#568	1	2	yes	—
315	C₂³	#568	1	2	yes	—
316	Q₈	—	4	16	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	16	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	8	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	16	no	—
341	C₂×C₄	—	4	16	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	8	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#551	1	8	yes	—
370	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
371	C₈	—	4	8	no	—
372	C₈	—	4	8	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	2	no	—
378	C₂²	—	4	8	no	—
379	C₂²	—	4	8	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2368	1	4	yes	—
386	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#2961	1	4	yes	—
391	C₂²	Q₈×M₁₆	1	2	yes	—
392	C₂²	Q₈×M₁₆	1	2	yes	—
393	C₂²	#2967	1	4	yes	—
394	C₂²	#2970	1	2	yes	—
395	C₂²	#2971	1	2	yes	—
396	C₂²	#2973	1	2	yes	—
397	C₂²	#2975	1	2	yes	—
398	C₂²	#2978	1	4	yes	—
399	C₄	—	2	4	no	—
400	C₄	—	2	4	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	4	4	no	—
404	C₄	—	4	2	no	—
405	C₄	—	4	2	no	—
406	C₄	—	8	2	no	—
407	C₄	—	8	2	no	—
408	C₄	#2561	1	2	yes	—
409	C₄	#2564	1	4	yes	—
410	C₄	#2583	1	2	yes	—
411	C₂	—	4	4	no	—
412	C₂	#14159	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#21301	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#21303	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#21376	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#21380	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#21742	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#21743	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#23240	1	4	yes	—
420	C₂	#23242	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11380	C₂	semidirect
5. #11346	C₂	semidirect
6. #10875	C₂	semidirect
66. C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	semidirect
95. C₂²×Q₈	M₁₆	semidirect
151. C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#1749	2
C₂×#1728	2
#11380	2
#11346	2
#10875	2
#10715	2