Subgroups — #37547

Order 256.

1229 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2662	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2636	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2617	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2603	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2591	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2539	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2406	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2404	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
16	#532	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#126	—	2	8	no	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#399	C₂²	1	4	yes	—
40	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#397	C₂²	1	4	yes	—
42	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#394	C₂²	1	8	yes	—
45	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#393	C₂²	1	4	yes	—
49	#392	C₂²	1	4	yes	—
50	#392	C₂²	1	4	yes	—
51	#392	C₂²	1	4	yes	—
52	#390	C₂²	1	8	yes	—
53	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	4	yes	—
56	#386	C₂²	1	8	yes	—
57	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#381	C₂²	1	2	yes	—
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#41	—	2	8	no	—
67	C₂×#41	—	4	8	no	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
82	#127	—	2	4	no	—
83	#126	—	2	8	no	—
84	#126	—	2	8	no	—
85	#126	—	2	8	no	—
86	#126	—	2	8	no	—
87	#124	—	2	8	no	—
88	#123	—	4	8	no	—
89	#121	—	2	8	no	—
90	#121	—	2	8	no	—
91	#120	—	4	8	no	—
92	C₄×D₄	—	2	8	no	—
93	C₄×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
123	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
124	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#95	C₂³	1	4	yes	—
130	#95	C₂³	1	4	yes	—
131	#95	C₂³	1	4	yes	—
132	#95	C₂³	1	4	yes	—
133	#95	C₂³	1	8	yes	—
134	#95	C₂³	1	8	yes	—
135	C₂⁴	—	2	2	no	—
136	C₂⁴	—	2	4	no	—
137	C₂⁴	—	4	2	no	—
138	C₂⁴	—	4	2	no	—
139	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
140	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
141	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	#41	—	4	32	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	8	no	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	4	no	—
153	C₂×D₄	—	4	4	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×D₄	—	4	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
206	C₄²	—	4	4	no	—
207	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
208	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
210	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	4	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	2	8	no	—
219	C₂³	—	2	8	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	4	4	no	—
223	C₂³	—	4	4	no	—
224	C₂³	—	4	4	no	—
225	C₂³	—	8	8	no	—
226	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
228	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	4	8	no	—
230	D₄	—	4	8	no	—
231	D₄	—	4	8	no	—
232	D₄	—	4	8	no	—
233	D₄	—	4	16	no	—
234	D₄	—	8	16	no	—
235	C₂×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	4	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	16	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	2	2	no	—
268	C₂²	—	2	8	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	2	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	8	no	—
276	C₂²	—	4	8	no	—
277	C₂²	—	4	8	no	—
278	C₂²	—	8	8	no	—
279	C₂²	#535	1	4	yes	—
280	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
282	C₂²	#585	1	2	yes	—
283	C₂²	#585	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	4	2	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	4	2	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	—	4	8	no	—
295	C₂	—	2	4	no	—
296	C₂	—	8	4	no	—
297	C₂	—	8	2	no	—
298	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#3560	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#532	C₂	semidirect
2. C₂²×#126	C₂	semidirect
3. #2821	C₂	semidirect
4. #2818	C₂	semidirect
5. #2662	C₂	semidirect
6. #2636	C₂	semidirect
7. #2618	C₂	semidirect
8. #2617	C₂	semidirect
9. #2603	C₂	semidirect
10. #2591	C₂	semidirect
11. #2539	C₂	semidirect
12. #2406	C₂	semidirect
13. #2404	C₂	semidirect
14. #2283	C₂	semidirect
17. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
18. C₂×#127	C₂²	semidirect
24. C₂×#124	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
38. #400	C₂²	semidirect
40. #398	C₂²	semidirect
42. #396	C₂²	semidirect
43. #395	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
57. #385	C₂²	semidirect
58. #383	C₂²	semidirect
59. #382	C₂²	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. #376	C₂²	semidirect
123. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
C₂²×#126	2
#2821	2
#2818	2
#2662	2
#2636	2
#2618	2
#2617	2
#2603	2
#2591	2
#2539	2
#2406	2
#2404	2
#2283	2