Subgroups — #37548

Order 256.

1001 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 275 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2664	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2637	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2626	C₂	1	2	yes	maximal
9	#2604	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2583	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2561	C₂	1	2	yes	maximal
12	#2484	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2482	C₂	1	2	yes	maximal
14	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#533	—	2	8	no	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#126	—	2	8	no	—
19	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#399	C₂²	1	4	yes	—
39	#399	C₂²	1	4	yes	—
40	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#398	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	4	yes	—
44	#397	C₂²	1	4	yes	—
45	#396	C₂²	1	8	yes	—
46	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#393	C₂²	1	4	yes	—
49	#393	C₂²	1	4	yes	—
50	#389	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	8	yes	—
52	#388	C₂²	1	8	yes	—
53	#387	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#385	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	4	yes	—
56	#383	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#381	C₂²	1	4	yes	—
59	#381	C₂²	1	2	yes	—
60	#380	C₂²	1	2	yes	—
61	#379	C₂²	1	4	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	#376	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
75	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
76	#126	—	2	8	no	—
77	#126	—	2	8	no	—
78	#126	—	2	8	no	—
79	#126	—	2	8	no	—
80	#125	—	2	8	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
83	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
84	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
85	#117	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#95	C₂³	1	4	yes	—
125	#95	C₂³	1	4	yes	—
126	#95	C₂³	1	4	yes	—
127	#95	C₂³	1	4	yes	—
128	#95	C₂³	1	8	yes	—
129	#95	C₂³	1	8	yes	—
130	#95	C₂³	1	8	yes	—
131	#95	C₂³	1	8	yes	—
132	C₂⁴	—	2	2	no	—
133	C₂⁴	—	2	4	no	—
134	C₂⁴	—	4	2	no	—
135	C₂⁴	—	4	2	no	—
136	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
137	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
141	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
191	C₄²	—	2	8	no	—
192	C₄²	—	4	4	no	—
193	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂³	—	2	2	no	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	4	4	no	—
204	C₂³	—	4	4	no	—
205	C₂³	—	4	4	no	—
206	C₂³	—	8	8	no	—
207	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
208	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
209	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
210	Q₈	—	4	8	no	—
211	Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
243	C₂²	—	2	2	no	—
244	C₂²	—	2	2	no	—
245	C₂²	—	2	8	no	—
246	C₂²	—	4	2	no	—
247	C₂²	—	4	2	no	—
248	C₂²	—	4	2	no	—
249	C₂²	—	4	8	no	—
250	C₂²	—	8	8	no	—
251	C₂²	#536	1	4	yes	—
252	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
254	C₂²	#585	1	2	yes	—
255	C₂²	#585	1	2	yes	—
256	C₄	—	2	2	no	—
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	2	2	no	—
259	C₄	—	2	2	no	—
260	C₄	—	2	2	no	—
261	C₄	—	2	2	no	—
262	C₄	—	4	2	no	—
263	C₄	—	4	2	no	—
264	C₄	—	4	2	no	—
265	C₄	—	4	4	no	—
266	C₄	—	4	4	no	—
267	C₄	—	4	8	no	—
268	C₂	—	2	4	no	—
269	C₂	—	8	2	no	—
270	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
272	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#3564	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#533	C₂	semidirect
3. #2821	C₂	semidirect
4. #2821	C₂	semidirect
5. #2664	C₂	semidirect
6. #2637	C₂	semidirect
7. #2627	C₂	semidirect
9. #2604	C₂	semidirect
10. #2583	C₂	semidirect
12. #2484	C₂	semidirect
14. #2283	C₂	semidirect
16. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#125	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
36. #400	C₂²	semidirect
37. #400	C₂²	semidirect
40. #398	C₂²	semidirect
41. #398	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
46. #395	C₂²	semidirect
47. #395	C₂²	semidirect
50. #389	C₂²	semidirect
53. #387	C₂²	semidirect
56. #383	C₂²	semidirect
57. #382	C₂²	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. #376	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂²×#126	2
#2821	2
#2664	2
#2637	2
#2627	2
#2626	2
#2604	2
#2583	2
#2561	2
#2484	2
#2482	2
#2283	2