Subgroups — #37549

Order 256.

1027 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 286 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2820	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2664	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2629	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2627	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2618	C₂	1	2	yes	maximal
9	#2584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2562	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2413	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#529	—	2	8	no	—
16	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#125	—	2	8	no	—
18	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#400	C₂²	1	4	yes	—
39	#400	C₂²	1	4	yes	—
40	#399	C₂²	1	4	yes	—
41	#398	C₂²	1	4	yes	—
42	#398	C₂²	1	8	yes	—
43	#398	C₂²	1	4	yes	—
44	#398	C₂²	1	8	yes	—
45	#397	C₂²	1	4	yes	—
46	#396	C₂²	1	8	yes	—
47	#396	C₂²	1	8	yes	—
48	#395	C₂²	1	4	yes	—
49	#394	C₂²	1	4	yes	—
50	#389	C₂²	1	4	yes	—
51	#389	C₂²	1	4	yes	—
52	#389	C₂²	1	8	yes	—
53	#388	C₂²	1	8	yes	—
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#385	C₂²	1	4	yes	—
56	#384	C₂²	1	2	yes	—
57	#382	C₂²	1	2	yes	—
58	#381	C₂²	1	4	yes	—
59	#380	C₂²	1	4	yes	—
60	#380	C₂²	1	4	yes	—
61	#380	C₂²	1	2	yes	—
62	#380	C₂²	1	2	yes	—
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
65	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#126	—	2	8	no	—
75	#125	—	2	8	no	—
76	#125	—	2	8	no	—
77	#125	—	2	8	no	—
78	#125	—	2	8	no	—
79	#125	—	2	4	no	—
80	#124	—	2	4	no	—
81	#123	—	2	8	no	—
82	#123	—	4	8	no	—
83	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
84	#121	—	2	4	no	—
85	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₄×D₄	—	2	8	no	—
87	C₄×D₄	—	2	4	no	—
88	#117	—	2	8	no	—
89	#117	—	4	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
93	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
121	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	4	yes	—
130	#95	C₂³	1	8	yes	—
131	#95	C₂³	1	8	yes	—
132	#95	C₂³	1	8	yes	—
133	#95	C₂³	1	8	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂×D₄	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
196	C₄²	—	2	4	no	—
197	C₄²	—	4	4	no	—
198	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂³	—	2	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	4	no	—
209	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
211	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
212	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
213	Q₈	—	4	4	no	—
214	D₄	—	4	4	no	—
215	D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	2	2	no	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	4	no	—
255	C₂²	—	4	2	no	—
256	C₂²	—	4	2	no	—
257	C₂²	—	4	2	no	—
258	C₂²	—	4	4	no	—
259	C₂²	—	4	4	no	—
260	C₂²	#537	1	4	yes	—
261	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
264	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	#585	1	2	yes	—
266	C₄	—	2	2	no	—
267	C₄	—	2	2	no	—
268	C₄	—	2	2	no	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	2	2	no	—
271	C₄	—	4	2	no	—
272	C₄	—	4	4	no	—
273	C₄	—	4	2	no	—
274	C₄	—	4	4	no	—
275	C₄	—	4	2	no	—
276	C₄	—	4	8	no	—
277	C₄	#536	1	4	yes	—
278	C₂	—	2	4	no	—
279	C₂	—	8	2	no	—
280	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
281	C₂	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
282	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#3559	1	2	yes	—
284	C₂	#3563	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#125	C₂	semidirect
3. #2822	C₂	semidirect
4. #2820	C₂	semidirect
5. #2664	C₂	semidirect
6. #2629	C₂	semidirect
7. #2627	C₂	semidirect
9. #2584	C₂	semidirect
10. #2562	C₂	semidirect
11. #2487	C₂	semidirect
12. #2486	C₂	semidirect
13. #2413	C₂	semidirect
14. #2285	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#529	2
C₂²×#125	2
#2822	2
#2820	2
#2664	2
#2629	2
#2627	2
#2618	2
#2584	2
#2562	2
#2487	2
#2486	2
#2413	2
#2285	2