Subgroups — #375554

Order 512.

1690 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11384	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10849	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10841	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	#2868	—	2	4	no	—
13	#2868	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#384	—	2	1	no	—
15	C₂×#384	—	2	1	no	—
16	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
24	C₂×#340	C₂²	1	16	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
27	C₄⋊#95	—	2	1	no	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
33	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
61	#384	—	2	8	no	—
62	#384	—	2	8	no	—
63	#384	—	2	4	no	—
64	#384	—	2	4	no	—
65	#384	—	2	4	no	—
66	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#384	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#384	Q₈	1	8	yes	complemented
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
72	C₂×#95	—	2	2	no	—
73	C₂×#95	—	2	2	no	—
74	C₂×#95	—	2	2	no	—
75	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₄³	D₄	1	4	yes	—
77	#340	—	4	16	no	—
78	#336	—	2	4	no	—
79	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
80	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
81	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
82	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
83	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
97	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
98	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	D₈	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
151	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
152	C₄×C₈	—	4	8	no	—
153	#95	—	4	4	no	—
154	#95	—	4	4	no	—
155	#95	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
160	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
161	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	—	2	8	no	—
214	C₂×C₈	—	2	16	no	—
215	C₂×C₈	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	—	4	4	no	—
217	C₂×C₈	—	4	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
229	C₄²	—	2	4	no	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₄²	—	2	8	no	—
232	C₄²	—	2	8	no	—
233	C₄²	—	8	8	no	—
234	C₄²	#102	1	16	yes	—
235	C₄²	#103	1	16	yes	—
236	C₄²	C₄×Q₈	1	8	yes	—
237	C₄²	C₄×Q₈	1	8	yes	—
238	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
239	C₄²	#124	1	4	yes	—
240	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	#535	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
252	Q₈	—	8	32	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	8	4	no	—
272	C₂×C₄	—	8	4	no	—
273	C₂×C₄	—	8	4	no	—
274	C₂×C₄	—	8	8	no	—
275	C₂×C₄	—	8	4	no	—
276	C₂×C₄	—	8	8	no	—
277	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#102	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	#418	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#419	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#474	1	8	yes	—
290	C₂×C₄	#475	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	#476	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	#477	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	#486	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#487	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#498	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#500	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#555	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	Q₈²	1	4	yes	—
308	C₈	—	4	8	no	—
309	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#2563	1	2	yes	—
313	C₂²	#2567	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂²×#102	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂×#418	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#419	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#474	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂×#476	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#475	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂×#477	1	2	yes	—
322	C₂²	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#487	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#3141	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#500	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#3165	1	2	yes	—
328	C₂²	#3205	1	2	yes	—
329	C₂²	#3206	1	2	yes	—
330	C₂²	#3208	1	2	yes	—
331	C₂²	#3209	1	2	yes	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	8	8	no	—
336	C₄	—	8	8	no	—
337	C₄	#1987	1	8	yes	—
338	C₄	#1988	1	8	yes	—
339	C₄	#1990	1	8	yes	—
340	C₄	#2369	1	4	yes	—
341	C₄	#2563	1	2	yes	—
342	C₄	#2567	1	2	yes	—
343	C₂	#14161	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#1987	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×#1988	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×#1990	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#21324	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#21803	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#21804	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#29139	1	2	yes	—
351	C₂	#29141	1	2	yes	—
352	C₂	#29206	1	2	yes	—
353	C₂	#29208	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. #2868	C₄	semidirect
58. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect
68. #384	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
C₄×#384	2
#11384	2
#10849	2
#10841	2