Subgroups — #375566

Order 512.

1000 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11387	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10872	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10871	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10868	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10866	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#533	C₂²	1	2	yes	—
10	#3160	—	2	4	no	—
11	#3160	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂×#500	—	2	1	no	—
13	C₂×#499	—	2	1	no	—
14	C₂×#499	—	2	1	no	—
15	C₂×#498	—	2	1	no	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1772	—	2	1	no	—
26	#1772	—	2	1	no	—
27	#1772	—	2	1	no	—
28	#1772	—	2	1	no	—
29	#1772	—	2	4	no	—
30	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
31	#1740	C₂²	1	4	yes	—
32	#1733	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#533	—	2	4	no	—
41	#533	—	4	2	no	—
42	#533	—	4	2	no	—
43	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×#125	—	2	2	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
48	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#500	—	2	8	no	—
53	#499	—	2	8	no	—
54	#499	—	2	8	no	—
55	#498	—	2	8	no	—
56	C₂×#108	—	2	1	no	—
57	C₂×#108	—	2	1	no	—
58	C₂×#108	—	2	2	no	—
59	C₂×#108	—	2	1	no	—
60	C₂×#108	—	2	1	no	—
61	C₂×#108	—	2	2	no	—
62	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	complemented
63	C₂×#108	Q₈	1	4	yes	complemented
64	#427	—	2	4	no	—
65	#427	—	2	4	no	—
66	#427	—	2	2	no	—
67	#427	—	2	1	no	—
68	#427	—	2	1	no	—
69	#427	—	2	1	no	—
70	#427	—	2	1	no	—
71	#427	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	#427	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	#427	Q₈	1	4	yes	complemented
74	C₂×#107	—	2	2	no	—
75	C₂×#107	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	Q₈	1	2	yes	complemented
78	C₂×#106	—	2	2	no	—
79	C₂×#106	—	2	2	no	—
80	C₂×#106	—	2	1	no	—
81	C₂×#106	Q₈	1	2	yes	complemented
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	#405	—	2	4	no	—
85	#405	—	2	4	no	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
98	#344	—	4	4	no	—
99	#342	—	4	4	no	—
100	#339	—	2	2	no	—
101	#339	—	2	2	no	—
102	#339	—	2	4	no	—
103	#339	—	4	4	no	—
104	H(3,ℤ/4)	—	4	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
119	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
142	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
143	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
144	#125	—	2	8	no	—
145	#125	—	4	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
148	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
149	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	4	no	—
154	#117	—	2	4	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
161	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	#108	—	2	4	no	—
181	#108	—	2	4	no	—
182	#108	—	2	4	no	—
183	#108	—	2	4	no	—
184	#107	—	2	8	no	—
185	#107	—	2	8	no	—
186	#107	—	2	4	no	—
187	#107	—	2	2	no	—
188	#107	—	2	2	no	—
189	#106	—	2	8	no	—
190	#106	—	2	8	no	—
191	#106	—	2	4	no	—
192	#106	—	2	2	no	—
193	#106	—	2	2	no	—
194	#97	—	4	4	no	—
195	#97	—	4	2	no	—
196	#97	—	4	2	no	—
197	C₄×C₈	—	4	4	no	—
198	C₄×C₈	—	4	2	no	—
199	C₄×C₈	—	4	2	no	—
200	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	2	4	no	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	2	4	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	2	no	—
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	#124	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	4	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	Q₈²	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	8	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₈	#391	1	2	yes	—
353	C₈	#391	1	2	yes	—
354	C₈	#391	1	2	yes	—
355	C₈	#391	1	2	yes	—
356	C₈	#391	1	2	yes	—
357	C₈	#391	1	2	yes	—
358	C₈	#391	1	2	yes	—
359	C₈	#391	1	2	yes	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	4	1	no	—
364	C₂²	—	4	1	no	—
365	C₂²	—	4	1	no	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2369	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2369	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2567	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2567	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	—	8	8	no	—
378	C₄	—	8	4	no	—
379	C₄	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
380	C₄	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2369	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2369	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	2	1	no	—
390	C₂	—	2	1	no	—
391	C₂	—	2	1	no	—
392	C₂	—	2	1	no	—
393	C₂	#14161	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#29154	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#555
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2563
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
11. #3160	C₄	semidirect
62. C₂×#108	Q₈	semidirect
63. C₂×#108	Q₈	semidirect
73. #427	Q₈	semidirect
77. C₂×#107	Q₈	semidirect
81. C₂×#106	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3160	2
C₂×#1772	2
#11387	2
#10872	2
#10871	2
#10868	2
#10866	2