Subgroups — #375906

Order 512.

1116 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60193	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#23461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20884	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11393	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11056	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10956	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10901	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10883	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#10803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3458	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2962	—	2	8	no	—
15	#2961	—	2	2	no	—
16	#2960	—	2	2	no	—
17	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
18	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
21	#2896	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2873	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2028	C₄	1	4	yes	complemented
28	#2027	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1866	—	2	8	no	—
30	#1753	—	2	2	no	—
31	#1752	—	2	2	no	—
32	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
33	#1742	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1740	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
36	#1735	C₂²	1	2	yes	—
37	#1733	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
40	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1729	C₂²	1	2	yes	—
42	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#131	—	2	2	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	4	no	—
47	C₂×#131	—	4	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#544	—	2	4	no	—
57	#544	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	#543	—	2	2	no	—
59	#533	—	2	4	no	—
60	#533	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#446	—	2	8	no	—
66	#446	—	2	16	no	—
67	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
68	#430	—	2	4	no	—
69	#430	—	4	2	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	#424	—	2	4	no	—
72	#424	—	2	2	no	—
73	#424	—	2	2	no	—
74	#424	D₄	1	8	yes	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
77	#421	—	2	4	no	—
78	#421	—	4	2	no	—
79	C₂×#104	—	2	4	no	—
80	#419	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	#418	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#417	—	2	4	no	—
83	#416	—	2	4	no	—
84	#408	—	2	2	no	—
85	#408	Q₈	1	4	yes	complemented
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
87	#405	—	2	4	no	—
88	#405	—	2	4	no	—
89	#405	—	2	4	no	—
90	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×#97	—	2	1	no	—
93	C₂×#97	—	4	2	no	—
94	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	#386	—	2	2	no	—
99	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
100	#344	—	2	4	no	—
101	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
102	#342	—	2	2	no	—
103	#341	—	4	2	no	—
104	#340	—	2	4	no	—
105	#339	—	2	4	no	—
106	#339	—	4	2	no	—
107	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
108	#336	—	2	4	no	—
109	#336	—	2	2	no	—
110	#336	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	1	no	—
112	C₂×#41	—	2	1	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
119	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	#131	—	4	8	no	—
126	#131	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
145	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
149	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
170	#125	—	2	4	no	—
171	#125	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
184	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	#108	—	4	8	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
203	#104	—	4	8	no	—
204	#103	—	2	8	no	—
205	#102	—	2	8	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
207	#97	—	2	8	no	—
208	#97	—	2	4	no	—
209	#97	—	4	2	no	—
210	#97	—	4	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	8	no	—
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	#95	—	2	4	no	—
214	C₂⁴	—	2	1	no	—
215	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
229	C₂×D₄	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
260	M₁₆	—	2	4	no	—
261	M₁₆	—	2	4	no	—
262	M₁₆	—	2	4	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	4	8	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	1	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	1	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	8	no	—
287	C₂×C₈	—	4	1	no	—
288	C₂×C₈	—	4	1	no	—
289	C₂×C₈	—	4	1	no	—
290	C₂×C₈	—	4	1	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	2	4	no	—
314	C₄²	—	2	2	no	—
315	C₄²	—	2	2	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	4	1	no	—
318	C₄²	—	4	1	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	4	1	no	—
326	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	#525	1	2	yes	—
328	C₂³	#529	1	1	yes	characteristic
329	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	#542	1	2	yes	—
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	4	2	no	—
333	Q₈	—	8	8	no	—
334	D₄	—	2	4	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	2	4	no	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	4	4	no	—
378	C₈	—	4	2	no	—
379	C₈	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	4	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	4	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	8	2	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₄×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#2326	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2458	1	2	yes	—
393	C₂²	#2465	1	2	yes	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	4	8	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	—	16	2	no	—
399	C₄	#2360	1	2	yes	—
400	C₄	#2367	1	2	yes	—
401	C₄	#2404	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#2580	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2599	1	1	yes	characteristic
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	—	2	2	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	8	2	no	—
410	C₂	#14172	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#21478	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#120
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60193	C₂	semidirect
5. #11393	C₂	semidirect
6. #11343	C₂	semidirect
9. #10901	C₂	semidirect
10. #10883	C₂	semidirect
11. #10803	C₂	semidirect
27. #2028	C₄	semidirect
28. #2027	C₄	semidirect
85. #408	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60193	2
#23461	2
#20884	2
#20384	2
#11393	2
#11343	2
#11056	2
#10956	2
#10901	2
#10883	2
#10803	2