Subgroups — #37617

Order 256.

1133 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 252 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2821	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2658	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2642	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2628	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2623	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2487	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2436	C₂	1	2	yes	maximal
12	#2434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
21	#529	—	2	8	no	—
22	C₂×#126	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#125	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#400	C₂²	1	8	yes	—
37	#400	C₂²	1	8	yes	—
38	#399	C₂²	1	8	yes	—
39	#399	C₂²	1	8	yes	—
40	#398	C₂²	1	8	yes	—
41	#397	C₂²	1	8	yes	—
42	#395	C₂²	1	8	yes	—
43	#393	C₂²	1	8	yes	—
44	#391	C₂²	1	4	yes	—
45	#391	C₂²	1	4	yes	—
46	#389	C₂²	1	8	yes	—
47	#386	C₂²	1	8	yes	—
48	#385	C₂²	1	8	yes	—
49	#383	C₂²	1	2	yes	—
50	#382	C₂²	1	2	yes	—
51	#381	C₂²	1	2	yes	—
52	#380	C₂²	1	8	yes	—
53	#380	C₂²	1	2	yes	—
54	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
56	#376	C₂²	1	2	yes	—
57	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
58	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
59	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
70	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
71	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
72	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
73	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
74	#126	—	2	8	no	—
75	#125	—	2	4	no	—
76	#124	—	2	4	no	—
77	#124	—	4	8	no	—
78	#123	—	2	8	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
80	#121	—	2	4	no	—
81	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₄×D₄	—	2	8	no	—
83	C₄×D₄	—	2	4	no	—
84	#117	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
106	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#95	C₂³	1	4	yes	—
114	#95	C₂³	1	4	yes	—
115	#95	C₂³	1	4	yes	—
116	#95	C₂³	1	4	yes	—
117	#95	C₂³	1	16	yes	—
118	#95	C₂³	1	16	yes	—
119	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
120	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
127	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
128	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
129	C₂×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
140	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
173	C₄²	—	2	4	no	—
174	C₄²	—	2	8	no	—
175	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	2	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	4	no	—
185	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
186	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
187	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
188	Q₈	—	4	16	no	—
189	Q₈	—	4	4	no	—
190	Q₈	—	4	16	no	—
191	D₄	—	4	8	no	—
192	D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
221	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
222	C₂²	—	2	2	no	—
223	C₂²	—	2	2	no	—
224	C₂²	—	2	8	no	—
225	C₂²	—	4	2	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	4	2	no	—
228	C₂²	—	4	8	no	—
229	C₂²	#536	1	4	yes	—
230	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
232	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
233	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
234	C₄	—	2	2	no	—
235	C₄	—	2	2	no	—
236	C₄	—	2	2	no	—
237	C₄	—	2	2	no	—
238	C₄	—	4	8	no	—
239	C₄	—	4	2	no	—
240	C₄	—	4	2	no	—
241	C₄	—	4	2	no	—
242	C₄	—	4	8	no	—
243	C₄	#535	1	4	yes	—
244	C₄	#536	1	4	yes	—
245	C₂	—	2	4	no	—
246	C₂	—	8	2	no	—
247	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
248	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
249	C₂	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
250	C₂	#3552	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2821	C₂	semidirect
4. #2658	C₂	semidirect
5. #2642	C₂	semidirect
6. #2628	C₂	semidirect
7. #2623	C₂	semidirect
8. #2547	C₂	semidirect
9. #2546	C₂	semidirect
10. #2487	C₂	semidirect
12. #2434	C₂	semidirect
13. #2283	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄⋊Q₈	2
C₂×#529	2
#2821	2
#2658	2
#2642	2
#2628	2
#2623	2
#2547	2
#2546	2
#2487	2
#2436	2
#2434	2
#2283	2