Subgroups — #37618

Order 256.

1403 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 261 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2815	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2657	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2640	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2631	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2615	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2535	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2431	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
15	#532	—	2	8	no	—
16	#532	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#397	C₂²	1	8	yes	—
36	#397	C₂²	1	8	yes	—
37	#393	C₂²	1	8	yes	—
38	#392	C₂²	1	8	yes	—
39	#392	C₂²	1	16	yes	—
40	#392	C₂²	1	8	yes	—
41	#392	C₂²	1	8	yes	—
42	#391	C₂²	1	4	yes	—
43	#390	C₂²	1	4	yes	—
44	#386	C₂²	1	16	yes	—
45	#383	C₂²	1	2	yes	—
46	#382	C₂²	1	2	yes	—
47	#381	C₂²	1	2	yes	—
48	#380	C₂²	1	2	yes	—
49	#380	C₂²	1	8	yes	—
50	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
51	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
52	#376	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×#41	—	2	8	no	—
54	C₂×#41	—	2	8	no	—
55	C₂×#41	—	4	8	no	—
56	C₂×#41	—	4	8	no	—
57	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	16	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
74	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
75	#127	—	2	4	no	—
76	#127	—	2	4	no	—
77	#127	—	4	8	no	—
78	#124	—	2	8	no	—
79	#124	—	2	8	no	—
80	#124	—	4	8	no	—
81	#121	—	2	8	no	—
82	#121	—	2	8	no	—
83	#121	—	2	8	no	—
84	#121	—	2	8	no	—
85	#121	—	4	16	no	—
86	C₄×D₄	—	2	8	no	—
87	C₄×D₄	—	2	8	no	—
88	C₄×D₄	—	2	8	no	—
89	C₄×D₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×C₄²	D₄	1	8	yes	complemented
103	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#95	C₂³	1	4	yes	—
109	#95	C₂³	1	4	yes	—
110	#95	C₂³	1	4	yes	—
111	#95	C₂³	1	4	yes	—
112	#95	C₂³	1	16	yes	—
113	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
114	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
115	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	#41	—	4	32	no	—
117	#41	—	4	32	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
122	C₂×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂×D₄	—	2	8	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂×D₄	—	4	4	no	—
137	C₂×D₄	—	4	8	no	—
138	C₂×D₄	—	4	8	no	—
139	C₂×D₄	—	4	16	no	—
140	C₂×D₄	—	4	16	no	—
141	C₂×D₄	—	4	16	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
173	C₄²	—	2	8	no	—
174	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂³	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	2	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	2	8	no	—
186	C₂³	—	2	8	no	—
187	C₂³	—	2	4	no	—
188	C₂³	—	2	8	no	—
189	C₂³	—	2	8	no	—
190	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
191	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
192	Q₈	—	4	8	no	—
193	Q₈	—	4	8	no	—
194	D₄	—	4	8	no	—
195	D₄	—	4	8	no	—
196	D₄	—	4	8	no	—
197	D₄	—	4	16	no	—
198	D₄	—	4	16	no	—
199	D₄	—	4	8	no	—
200	D₄	—	4	8	no	—
201	D₄	—	4	8	no	—
202	D₄	—	8	32	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂×C₄	—	4	16	no	—
218	C₂×C₄	—	4	16	no	—
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
226	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
227	C₂²	—	2	2	no	—
228	C₂²	—	2	2	no	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	4	4	no	—
231	C₂²	—	4	4	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	—	4	4	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	4	no	—
237	C₂²	—	4	8	no	—
238	C₂²	—	4	16	no	—
239	C₂²	—	4	8	no	—
240	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
242	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂²	#585	1	2	yes	—
244	C₄	—	2	2	no	—
245	C₄	—	2	2	no	—
246	C₄	—	2	2	no	—
247	C₄	—	2	2	no	—
248	C₄	—	4	4	no	—
249	C₄	—	4	4	no	—
250	C₄	—	4	8	no	—
251	C₄	#535	1	4	yes	—
252	C₄	#535	1	4	yes	—
253	C₂	—	4	2	no	—
254	C₂	—	8	4	no	—
255	C₂	—	8	4	no	—
256	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
257	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#3546	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#532	C₂	semidirect
2. C₂×#532	C₂	semidirect
3. #2815	C₂	semidirect
4. #2657	C₂	semidirect
5. #2640	C₂	semidirect
6. #2631	C₂	semidirect
7. #2615	C₂	semidirect
8. #2547	C₂	semidirect
9. #2541	C₂	semidirect
10. #2535	C₂	semidirect
11. #2431	C₂	semidirect
12. #2283	C₂	semidirect
102. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
#2815	2
#2657	2
#2640	2
#2631	2
#2615	2
#2547	2
#2541	2
#2535	2
#2431	2
#2283	2