Subgroups — #376805

Order 512.

1046 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2960	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23551	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1946	C₂	1	2	yes	maximal
4	#21020	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11326	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10910	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10909	C₂	1	2	yes	maximal
10	#10883	C₂	1	2	yes	maximal
11	#10696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2960	—	2	8	no	—
14	C₂×#446	—	2	2	no	—
15	C₂×C₈×Q₈	—	2	2	no	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2059	C₄	1	4	yes	complemented
26	#2058	C₄	1	2	yes	complemented
27	#2057	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1946	—	2	8	no	—
29	#1916	—	2	2	no	—
30	#1916	—	2	2	no	—
31	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
32	#1735	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#533	—	2	4	no	—
51	#533	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#446	—	2	16	no	—
62	C₈×Q₈	—	2	16	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	—	2	4	no	—
65	C₂×#108	—	4	2	no	—
66	#427	—	2	4	no	—
67	#427	—	2	4	no	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#424	—	2	4	no	—
71	#424	—	2	4	no	—
72	#424	D₄	1	8	yes	—
73	#423	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	#405	—	2	4	no	—
78	#405	—	2	4	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	4	no	—
81	C₂×#97	—	2	4	no	—
82	C₂×#97	—	4	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#385	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×#95	—	2	2	no	—
92	#341	—	2	4	no	—
93	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	#339	—	2	4	no	—
96	#339	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	4	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	#336	—	2	1	no	—
101	#336	—	2	1	no	—
102	#336	—	2	1	no	—
103	#336	—	2	1	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
106	#336	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
107	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#336	Q₈	1	8	yes	complemented
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
150	#125	—	2	8	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
152	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	1	no	—
159	#117	—	2	1	no	—
160	#117	—	2	1	no	—
161	#117	—	2	1	no	—
162	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	#117	#41	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
188	#108	—	4	8	no	—
189	#107	—	2	8	no	—
190	#106	—	2	8	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
192	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
194	#97	—	2	8	no	—
195	#97	—	4	8	no	—
196	C₄×C₈	—	2	8	no	—
197	C₄×C₈	—	2	4	no	—
198	C₄×C₈	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	2	no	—
200	#95	—	2	2	no	—
201	#95	—	4	4	no	—
202	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	2	4	no	—
230	M₁₆	—	2	4	no	—
231	M₁₆	—	4	2	no	—
232	M₁₆	—	4	2	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	2	no	—
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	1	no	—
261	C₂×C₈	—	4	1	no	—
262	C₂×C₈	—	4	1	no	—
263	C₂×C₈	—	4	1	no	—
264	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
269	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	4	1	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	—	4	1	no	—
294	C₄²	—	4	1	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	#525	1	2	yes	—
301	C₂³	#533	1	2	yes	—
302	C₂³	#541	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	#542	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	4	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
344	C₈	—	2	4	no	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	4	4	no	—
350	C₈	—	8	1	no	—
351	C₈	—	8	1	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2323	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2462	1	2	yes	—
361	C₂²	#2465	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
363	C₂²	#2955	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	8	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	—	8	2	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	#2360	1	2	yes	—
371	C₄	#2365	1	2	yes	—
372	C₄	#2430	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2584	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2604	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	2	2	no	—
378	C₂	#14186	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#21467	1	2	yes	—
380	C₂	#21734	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#21735	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#22131	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
25. #2059	C₄	semidirect
26. #2058	C₄	semidirect
27. #2057	C₄	semidirect
108. #336	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2960	2
#23551	2
C₂×#1946	2
#21020	2
#11386	2
#11326	2
#11209	2
#10910	2
#10909	2
#10883	2
#10696	2